Вопрос критерии успеха, страница 23 - гдз по алгебре 7 класс учебник Абылкасымова, Кучер

Какими числами (натуральными, дробными — положительными или отрицательными и др.) может быть основание степени с натуральным показателем?

Степенью числа $a$ с натуральным показателем $n$ (где $n$ — натуральное число, т.е. $n \in \{1, 2, 3, \dots\}$) называется выражение вида $a^n$, которое представляет собой произведение $n$ множителей, каждый из которых равен $a$.

$a^n = \underbrace{a \cdot a \cdot \dots \cdot a}_{n \text{ раз}}$

Ключевой операцией здесь является умножение. Так как операция умножения определена для самых разных видов чисел, то и основание степени $a$ может быть любым из этих чисел. Рассмотрим конкретные примеры.

Натуральные числа: Основание может быть натуральным числом. Например, если основание равно 3, а показатель — 4, то получаем $3^4 = 3 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 3 = 81$.

Дробные числа: Основание может быть дробным (рациональным) числом. Например, $(\frac{2}{5})^3 = \frac{2}{5} \cdot \frac{2}{5} \cdot \frac{2}{5} = \frac{8}{125}$.

Положительные и отрицательные числа: Основание может быть как положительным, так и отрицательным.

• Пример с положительным основанием (дробным): $0.5^2 = 0.25$.

• Пример с отрицательным основанием (целым): $(-5)^3 = (-5) \cdot (-5) \cdot (-5) = -125$. Знак результата зависит от четности показателя: $(-5)^2 = 25$.

Другие числа (и др.): Основание также может быть нулём или иррациональным числом.

• Ноль: $0^5 = 0 \cdot 0 \cdot 0 \cdot 0 \cdot 0 = 0$. Для любого натурального $n$, $0^n=0$.

• Иррациональное число: $(\sqrt{2})^4 = \sqrt{2} \cdot \sqrt{2} \cdot \sqrt{2} \cdot \sqrt{2} = 2 \cdot 2 = 4$.

Таким образом, никаких ограничений на основание степени с натуральным показателем не накладывается. Это может быть любое действительное (вещественное) число и даже комплексное.

Ответ: Основание степени с натуральным показателем может быть любым числом: натуральным, целым, дробным (рациональным), иррациональным, положительным, отрицательным или равным нулю.