Номер 4.10, страница 40 - гдз по алгебре 7 класс учебник Абылкасымова, Кучер

4.10. Упростите:

1) $\frac{(125b^2)^3}{25b^4}$;

2) $\frac{45x^{14}y^9}{-27x^{12}(-y^3)^3}$;

3) $\frac{-32c^{15}(d^4)^5}{24c^{13}d^{17}}$.

1) Заданное выражение: $\frac{(125b^2)^3}{25b^4}$.

Сначала раскроем скобки в числителе, используя свойство возведения произведения в степень $(ab)^n = a^n b^n$ и свойство возведения степени в степень $(a^m)^n = a^{mn}$.

$(125b^2)^3 = 125^3 \cdot (b^2)^3 = 125^3 b^{2 \cdot 3} = 125^3 b^6$.

Теперь подставим это обратно в дробь:

$\frac{125^3 b^6}{25b^4}$.

Представим числовые коэффициенты $125$ и $25$ как степени числа $5$: $125 = 5^3$ и $25 = 5^2$.

$\frac{(5^3)^3 b^6}{5^2 b^4} = \frac{5^{3 \cdot 3} b^6}{5^2 b^4} = \frac{5^9 b^6}{5^2 b^4}$.

Теперь применим правило деления степеней с одинаковым основанием $\frac{a^m}{a^n} = a^{m-n}$ отдельно для числового коэффициента и для переменной $b$:

$\frac{5^9}{5^2} \cdot \frac{b^6}{b^4} = 5^{9-2} \cdot b^{6-4} = 5^7 b^2$.

Вычислим значение $5^7$:

$5^7 = 78125$.

Таким образом, результат упрощения: $78125b^2$.

Ответ: $78125b^2$.

2) Заданное выражение: $\frac{45x^{14}y^9}{-27x^{12}(-y^3)^3}$.

Сначала упростим выражение в знаменателе, в частности $(-y^3)^3$.

Используя правило возведения в степень, $(a^m)^n = a^{mn}$ и то, что отрицательное число в нечетной степени остается отрицательным:

$(-y^3)^3 = (-1)^3 \cdot (y^3)^3 = -1 \cdot y^{3 \cdot 3} = -y^9$.

Теперь подставим упрощенное выражение обратно в знаменатель:

$-27x^{12}(-y^9) = (-27) \cdot (-1) \cdot x^{12} y^9 = 27x^{12}y^9$.

Дробь принимает вид:

$\frac{45x^{14}y^9}{27x^{12}y^9}$.

Сгруппируем и сократим коэффициенты и переменные отдельно.

Сократим числовые коэффициенты $\frac{45}{27}$. Их наибольший общий делитель равен 9.

$\frac{45}{27} = \frac{5 \cdot 9}{3 \cdot 9} = \frac{5}{3}$.

Сократим степени переменной $x$, используя правило $\frac{a^m}{a^n} = a^{m-n}$:

$\frac{x^{14}}{x^{12}} = x^{14-12} = x^2$.

Сократим степени переменной $y$:

$\frac{y^9}{y^9} = y^{9-9} = y^0 = 1$ (при условии, что $y \neq 0$).

Теперь объединим все части:

$\frac{5}{3} \cdot x^2 \cdot 1 = \frac{5}{3}x^2$.

Ответ: $\frac{5}{3}x^2$.

3) Заданное выражение: $\frac{-32c^{15}(d^4)^5}{24c^{13}d^{17}}$.

Сначала упростим выражение в числителе, в частности $(d^4)^5$.

Используя правило возведения степени в степень $(a^m)^n = a^{mn}$:

$(d^4)^5 = d^{4 \cdot 5} = d^{20}$.

Теперь числитель имеет вид: $-32c^{15}d^{20}$.

Дробь принимает вид:

$\frac{-32c^{15}d^{20}}{24c^{13}d^{17}}$.

Сгруппируем и сократим коэффициенты и переменные отдельно.

Сократим числовые коэффициенты $\frac{-32}{24}$. Их наибольший общий делитель равен 8.

$\frac{-32}{24} = \frac{-4 \cdot 8}{3 \cdot 8} = -\frac{4}{3}$.

Сократим степени переменной $c$, используя правило $\frac{a^m}{a^n} = a^{m-n}$:

$\frac{c^{15}}{c^{13}} = c^{15-13} = c^2$.

Сократим степени переменной $d$:

$\frac{d^{20}}{d^{17}} = d^{20-17} = d^3$.

Теперь объединим все части:

$-\frac{4}{3} \cdot c^2 \cdot d^3 = -\frac{4}{3}c^2d^3$.

Ответ: $-\frac{4}{3}c^2d^3$.