Вопрос критерии успеха, страница 41 - гдз по алгебре 7 класс учебник Абылкасымова, Кучер

Каким свойством обладает возведение произведения и частного в степень?

Возведение произведения в степень

Чтобы возвести произведение в степень, достаточно возвести в эту степень каждый множитель и результаты перемножить. Это свойство называется свойством степени произведения.

В виде формулы это свойство записывается так:

$(a \cdot b)^n = a^n \cdot b^n$

Объяснение:

По определению степени, выражение $(a \cdot b)^n$ означает, что произведение $(a \cdot b)$ умножается само на себя $n$ раз.

$(a \cdot b)^n = \underbrace{(a \cdot b) \cdot (a \cdot b) \cdot \ldots \cdot (a \cdot b)}_{n \text{ раз}}$

Так как в произведении можно менять множители местами и группировать их произвольным образом (сочетательное и переместительное свойства умножения), мы можем сгруппировать все множители $a$ и все множители $b$ вместе:

$\underbrace{(a \cdot a \cdot \ldots \cdot a)}_{n \text{ раз}} \cdot \underbrace{(b \cdot b \cdot \ldots \cdot b)}_{n \text{ раз}}$

Произведение $n$ множителей, каждый из которых равен $a$, есть $a^n$. Аналогично, произведение $n$ множителей $b$ есть $b^n$. Таким образом, мы получаем:

$a^n \cdot b^n$

Пример:

Найдем значение выражения $(2 \cdot 5)^3$.

$(2 \cdot 5)^3 = 2^3 \cdot 5^3 = 8 \cdot 125 = 1000$.

Проверка: $(2 \cdot 5)^3 = 10^3 = 1000$.

Ответ: Степень произведения равна произведению степеней множителей с тем же показателем: $(a \cdot b)^n = a^n \cdot b^n$.

Возведение частного в степень

Чтобы возвести частное (дробь) в степень, нужно отдельно возвести в эту степень делимое (числитель) и делитель (знаменатель), а затем первый результат разделить на второй. Это свойство называется свойством степени частного.

В виде формулы это свойство записывается так (при условии, что делитель $b \neq 0$):

$(\frac{a}{b})^n = \frac{a^n}{b^n}$

Объяснение:

По определению степени, выражение $(\frac{a}{b})^n$ означает, что дробь $\frac{a}{b}$ умножается сама на себя $n$ раз.

$(\frac{a}{b})^n = \underbrace{\frac{a}{b} \cdot \frac{a}{b} \cdot \ldots \cdot \frac{a}{b}}_{n \text{ раз}}$

По правилу умножения дробей, чтобы перемножить дроби, нужно перемножить их числители и перемножить их знаменатели. В нашем случае числитель будет произведением $n$ множителей $a$, а знаменатель — произведением $n$ множителей $b$.

$\frac{\underbrace{a \cdot a \cdot \ldots \cdot a}_{n \text{ раз}}}{\underbrace{b \cdot b \cdot \ldots \cdot b}_{n \text{ раз}}} = \frac{a^n}{b^n}$

Пример:

Упростим выражение $(\frac{x}{4})^2$.

$(\frac{x}{4})^2 = \frac{x^2}{4^2} = \frac{x^2}{16}$.

Ответ: Степень частного равна частному от деления степени делимого на степень делителя с тем же показателем: $(\frac{a}{b})^n = \frac{a^n}{b^n}$ (при $b \neq 0$).