Номер 4.16, страница 40 - гдз по алгебре 7 класс учебник Абылкасымова, Кучер

4.16. Сравните значения выражений:

1) $(\frac{3}{11})^2$ и $\frac{3^2}{11^2}$;

2) $(\frac{2}{9})^3$ и $\frac{2^3}{9^3}$;

3) $(2^3 b^2)^3$ и $2^9 b^6$;

4) $(3^2 a^3)^2$ и $3^4 a^6$.

1) Для сравнения выражений $(\frac{3}{11})^2$ и $\frac{3^2}{11^2}$ упростим первое выражение. Используя свойство возведения дроби в степень $(\frac{a}{b})^n = \frac{a^n}{b^n}$, мы получаем: $(\frac{3}{11})^2 = \frac{3^2}{11^2}$. Сравнивая полученное выражение со вторым, видим, что они идентичны. Следовательно, значения выражений равны. Ответ: $(\frac{3}{11})^2 = \frac{3^2}{11^2}$.

2) Для сравнения выражений $(\frac{2}{9})^3$ и $\frac{2^3}{9^3}$ упростим первое выражение. Аналогично предыдущему пункту, используем свойство возведения дроби в степень $(\frac{a}{b})^n = \frac{a^n}{b^n}$: $(\frac{2}{9})^3 = \frac{2^3}{9^3}$. Полученное выражение полностью совпадает со вторым. Значит, значения выражений равны. Ответ: $(\frac{2}{9})^3 = \frac{2^3}{9^3}$.

3) Сравним выражения $(2^3b^2)^3$ и $2^9b^6$. Упростим первое выражение, используя свойство возведения произведения в степень $(xy)^n = x^n y^n$. Получаем: $(2^3b^2)^3 = (2^3)^3 \cdot (b^2)^3$. Теперь применим свойство возведения степени в степень $(x^m)^n = x^{m \cdot n}$: $(2^3)^3 = 2^{3 \cdot 3} = 2^9$ и $(b^2)^3 = b^{2 \cdot 3} = b^6$. Таким образом, $(2^3b^2)^3 = 2^9b^6$. Это выражение равно второму. Ответ: $(2^3b^2)^3 = 2^9b^6$.

4) Сравним выражения $(3^2a^3)^2$ и $3^4a^6$. Упростим первое выражение. Сначала используем правило возведения произведения в степень $(xy)^n = x^n y^n$: $(3^2a^3)^2 = (3^2)^2 \cdot (a^3)^2$. Затем используем правило возведения степени в степень $(x^m)^n = x^{m \cdot n}$: $(3^2)^2 = 3^{2 \cdot 2} = 3^4$ и $(a^3)^2 = a^{3 \cdot 2} = a^6$. В итоге получаем, что $(3^2a^3)^2 = 3^4a^6$. Сравнивая со вторым выражением, видим, что они равны. Ответ: $(3^2a^3)^2 = 3^4a^6$.