Номер 4.9, страница 40 - гдз по алгебре 7 класс учебник Абылкасымова, Кучер

4.9. Докажите тождество:

1) $(a^2)^4 \cdot (a^3)^5 : (a^3)^7 = a^2;$

2) $(x^3)^6 \cdot (x^2)^5 = x^{28}.$

1) Чтобы доказать тождество $(a^2)^4 \cdot (a^3)^5 : (a^3)^7 = a^2$, преобразуем его левую часть, используя свойства степеней.

1. Сначала применим правило возведения степени в степень $(x^m)^n = x^{m \cdot n}$ к каждому элементу выражения:

$(a^2)^4 = a^{2 \cdot 4} = a^8$

$(a^3)^5 = a^{3 \cdot 5} = a^{15}$

$(a^3)^7 = a^{3 \cdot 7} = a^{21}$

2. Теперь подставим полученные результаты обратно в левую часть тождества:

$a^8 \cdot a^{15} : a^{21}$

3. Выполним по порядку действия умножения и деления степеней с одинаковым основанием, используя правила $x^m \cdot x^n = x^{m+n}$ и $x^m : x^n = x^{m-n}$:

$a^8 \cdot a^{15} = a^{8+15} = a^{23}$

$a^{23} : a^{21} = a^{23-21} = a^2$

4. В результате преобразования левой части мы получили $a^2$, что полностью совпадает с правой частью тождества.

Следовательно, тождество $(a^2)^4 \cdot (a^3)^5 : (a^3)^7 = a^2$ является верным.

Ответ: тождество доказано.

2) Чтобы доказать тождество $(x^3)^6 \cdot (x^2)^5 = x^{28}$, преобразуем его левую часть, применяя свойства степеней.

1. Применим правило возведения степени в степень $(a^m)^n = a^{m \cdot n}$ к каждому множителю в левой части:

$(x^3)^6 = x^{3 \cdot 6} = x^{18}$

$(x^2)^5 = x^{2 \cdot 5} = x^{10}$

2. Подставим упрощенные выражения обратно в левую часть:

$x^{18} \cdot x^{10}$

3. Теперь применим правило умножения степеней с одинаковым основанием $a^m \cdot a^n = a^{m+n}$:

$x^{18} \cdot x^{10} = x^{18+10} = x^{28}$

4. Полученное выражение $x^{28}$ в левой части полностью совпадает с выражением в правой части тождества.

Следовательно, тождество $(x^3)^6 \cdot (x^2)^5 = x^{28}$ является верным.

Ответ: тождество доказано.