Номер 4.12, страница 40 - гдз по алгебре 7 класс учебник Абылкасымова, Кучер

4.12. Вычислите:

1) $\frac{(13^5)^{11} \cdot (13^4)^{10}}{(13^{47})^2}$

2) $\frac{(7^5)^6 \cdot 7^{27}}{(7^{14})^4}$

3) $\frac{(6^8)^9 \cdot (6^4)^5}{(6^{24})^3 \cdot (6^3)^6}$

4) $\frac{(19^{11})^7 \cdot (19^7)^2}{(19^{20})^3 \cdot 19^{29}}$

5) $\frac{(3^{15})^5 \cdot (3^{12})^2}{(3^2)^{25} \cdot (3^3)^{16}}$

6) $\frac{(2^{40})^3 \cdot (2^{12})^5}{(2^{45})^2 \cdot (2^{11})^8}$

1)Для вычисления выражения $\frac{(13^5)^{11} \cdot (13^4)^{10}}{(13^{47})^2}$ воспользуемся свойствами степеней: $(a^m)^n = a^{m \cdot n}$, $a^m \cdot a^n = a^{m+n}$ и $\frac{a^m}{a^n} = a^{m-n}$. Сначала упростим числитель: $(13^5)^{11} \cdot (13^4)^{10} = 13^{5 \cdot 11} \cdot 13^{4 \cdot 10} = 13^{55} \cdot 13^{40} = 13^{55+40} = 13^{95}$. Затем упростим знаменатель: $(13^{47})^2 = 13^{47 \cdot 2} = 13^{94}$. Теперь выполним деление: $\frac{13^{95}}{13^{94}} = 13^{95-94} = 13^1 = 13$. Ответ: 13

2)Для вычисления выражения $\frac{(7^5)^6 \cdot 7^{27}}{(7^{14})^4}$ применим свойства степеней. Упростим числитель: $(7^5)^6 \cdot 7^{27} = 7^{5 \cdot 6} \cdot 7^{27} = 7^{30} \cdot 7^{27} = 7^{30+27} = 7^{57}$. Упростим знаменатель: $(7^{14})^4 = 7^{14 \cdot 4} = 7^{56}$. В результате получаем: $\frac{7^{57}}{7^{56}} = 7^{57-56} = 7^1 = 7$. Ответ: 7

3)Для вычисления выражения $\frac{(6^8)^9 \cdot (6^4)^5}{(6^{24})^3 \cdot (6^3)^6}$ используем свойства степеней. Упростим числитель: $(6^8)^9 \cdot (6^4)^5 = 6^{8 \cdot 9} \cdot 6^{4 \cdot 5} = 6^{72} \cdot 6^{20} = 6^{72+20} = 6^{92}$. Упростим знаменатель: $(6^{24})^3 \cdot (6^3)^6 = 6^{24 \cdot 3} \cdot 6^{3 \cdot 6} = 6^{72} \cdot 6^{18} = 6^{72+18} = 6^{90}$. В итоге: $\frac{6^{92}}{6^{90}} = 6^{92-90} = 6^2 = 36$. Ответ: 36

4)Для вычисления выражения $\frac{(19^{11})^7 \cdot (19^7)^2}{(19^{20})^3 \cdot 19^{29}}$ используем свойства степеней. Упростим числитель: $(19^{11})^7 \cdot (19^7)^2 = 19^{11 \cdot 7} \cdot 19^{7 \cdot 2} = 19^{77} \cdot 19^{14} = 19^{77+14} = 19^{91}$. Упростим знаменатель: $(19^{20})^3 \cdot 19^{29} = 19^{20 \cdot 3} \cdot 19^{29} = 19^{60} \cdot 19^{29} = 19^{60+29} = 19^{89}$. В итоге: $\frac{19^{91}}{19^{89}} = 19^{91-89} = 19^2 = 361$. Ответ: 361

5)Для вычисления выражения $\frac{(3^{15})^5 \cdot (3^{12})^2}{(3^2)^{25} \cdot (3^3)^{16}}$ используем свойства степеней. Упростим числитель: $(3^{15})^5 \cdot (3^{12})^2 = 3^{15 \cdot 5} \cdot 3^{12 \cdot 2} = 3^{75} \cdot 3^{24} = 3^{75+24} = 3^{99}$. Упростим знаменатель: $(3^2)^{25} \cdot (3^3)^{16} = 3^{2 \cdot 25} \cdot 3^{3 \cdot 16} = 3^{50} \cdot 3^{48} = 3^{50+48} = 3^{98}$. В итоге: $\frac{3^{99}}{3^{98}} = 3^{99-98} = 3^1 = 3$. Ответ: 3

6)Для вычисления выражения $\frac{(2^{40})^3 \cdot (2^{12})^5}{(2^{45})^2 \cdot (2^{11})^8}$ используем свойства степеней. Упростим числитель: $(2^{40})^3 \cdot (2^{12})^5 = 2^{40 \cdot 3} \cdot 2^{12 \cdot 5} = 2^{120} \cdot 2^{60} = 2^{120+60} = 2^{180}$. Упростим знаменатель: $(2^{45})^2 \cdot (2^{11})^8 = 2^{45 \cdot 2} \cdot 2^{11 \cdot 8} = 2^{90} \cdot 2^{88} = 2^{90+88} = 2^{178}$. В итоге: $\frac{2^{180}}{2^{178}} = 2^{180-178} = 2^2 = 4$. Ответ: 4