Проанализируй и ответь, страница 41 - гдз по алгебре 7 класс учебник Абылкасымова, Кучер

Как степень $(3 \cdot 8)^4$ представили в виде произведения степеней $3^4 \cdot 8^4$:

$(3 \cdot 8)^4 = (3 \cdot 8) \cdot (3 \cdot 8) \cdot (3 \cdot 8) \cdot (3 \cdot 8) = 3 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 8 \cdot 8 \cdot 8 \cdot 8 = 3^4 \cdot 8^4?$

Преобразование степени произведения $(3 \cdot 8)^4$ в произведение степеней $3^4 \cdot 8^4$ выполняется на основе определения степени и свойств операции умножения. Рассмотрим этот процесс по шагам.

1. Определение степени. Выражение $(3 \cdot 8)^4$ означает, что основание степени, равное $(3 \cdot 8)$, нужно умножить само на себя 4 раза. Запишем это:

$(3 \cdot 8)^4 = (3 \cdot 8) \cdot (3 \cdot 8) \cdot (3 \cdot 8) \cdot (3 \cdot 8)$

2. Свойства умножения. Для операции умножения действуют переместительный (коммутативный) и сочетательный (ассоциативный) законы. Это означает, что мы можем убрать скобки и поменять множители местами, не изменяя результат. Сгруппируем все множители "3" вместе и все множители "8" вместе:

$(3 \cdot 8) \cdot (3 \cdot 8) \cdot (3 \cdot 8) \cdot (3 \cdot 8) = 3 \cdot 8 \cdot 3 \cdot 8 \cdot 3 \cdot 8 \cdot 3 \cdot 8 = (3 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 3) \cdot (8 \cdot 8 \cdot 8 \cdot 8)$

3. Возвращение к определению степени. Теперь у нас есть произведение четырех троек и произведение четырех восьмерок. Каждое из этих произведений можно снова записать в виде степени:

Произведение $3 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 3$ равно $3^4$.

Произведение $8 \cdot 8 \cdot 8 \cdot 8$ равно $8^4$.

4. Итоговый результат. Подставив полученные степени в выражение из шага 2, мы получаем конечный вид:

$(3 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 3) \cdot (8 \cdot 8 \cdot 8 \cdot 8) = 3^4 \cdot 8^4$

Таким образом, мы показали, что $(3 \cdot 8)^4 = 3^4 \cdot 8^4$. Это преобразование является частным случаем общего свойства степени: степень произведения равна произведению степеней множителей. Формула этого свойства: $(a \cdot b)^n = a^n \cdot b^n$.

Ответ: Преобразование основано на определении степени (показатель степени указывает, сколько раз основание умножается само на себя) и на переместительном и сочетательном свойствах умножения, которые позволяют перегруппировать множители. Сначала выражение $(3 \cdot 8)^4$ расписывается как $(3 \cdot 8) \cdot (3 \cdot 8) \cdot (3 \cdot 8) \cdot (3 \cdot 8)$, затем множители группируются как $(3 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 3) \cdot (8 \cdot 8 \cdot 8 \cdot 8)$, и, наконец, это произведение записывается в виде $3^4 \cdot 8^4$.