Номер 5.6, страница 43 - гдз по алгебре 7 класс учебник Абылкасымова, Кучер

5.6. Упростите:

1) $\frac{(a \cdot b)^3}{b^2};$

2) $\left(\frac{x}{y}\right)^5 \cdot y^7;$

3) $\frac{(d \cdot t)^9}{d^7};$

4) $\frac{(x \cdot y)^6}{x^5};$

5) $\frac{(a \cdot c)^{10}}{c^8};$

6) $m^{12} \cdot \left(\frac{n}{m}\right)^{10};$

7) $\frac{(x^5 y^6)^4}{x^{20} y^{22}};$

8) $\left(\frac{a^4}{b^3}\right)^5 \cdot b^{17};$

9) $\frac{(x^8 y^4)^3}{x^{23} y^{12}}.$

1) Для упрощения выражения $ \frac{(a \cdot b)^3}{b^2} $ сначала применим свойство возведения произведения в степень $ (xy)^n = x^n y^n $ к числителю: $ (a \cdot b)^3 = a^3 b^3 $. Теперь выражение имеет вид $ \frac{a^3 b^3}{b^2} $. Далее, используя свойство деления степеней с одинаковым основанием $ \frac{x^m}{x^n} = x^{m-n} $, упрощаем частное для переменной $ b $: $ \frac{b^3}{b^2} = b^{3-2} = b^1 = b $. Таким образом, окончательное выражение равно $ a^3 b $. Ответ: $ a^3 b $.

2) В выражении $ (\frac{x}{y})^5 \cdot y^7 $ сначала применим свойство возведения частного в степень $ (\frac{x}{y})^n = \frac{x^n}{y^n} $: $ (\frac{x}{y})^5 = \frac{x^5}{y^5} $. Выражение принимает вид $ \frac{x^5}{y^5} \cdot y^7 $. Это можно записать как $ \frac{x^5 y^7}{y^5} $. Теперь применим свойство деления степеней с одинаковым основанием $ \frac{y^m}{y^n} = y^{m-n} $: $ y^{7-5} = y^2 $. В итоге получаем $ x^5 y^2 $. Ответ: $ x^5 y^2 $.

3) Упростим выражение $ \frac{(d \cdot t)^9}{d^7} $. Раскроем скобки в числителе по правилу возведения произведения в степень $ (xy)^n = x^n y^n $: $ (d \cdot t)^9 = d^9 t^9 $. Получим дробь $ \frac{d^9 t^9}{d^7} $. Затем сократим степени с основанием $ d $, используя свойство $ \frac{x^m}{x^n} = x^{m-n} $: $ \frac{d^9}{d^7} = d^{9-7} = d^2 $. Окончательный результат: $ d^2 t^9 $. Ответ: $ d^2 t^9 $.

4) Для упрощения $ \frac{(x \cdot y)^6}{x^5} $ сначала раскроем скобки в числителе, используя свойство степени произведения $ (xy)^n = x^n y^n $: $ (x \cdot y)^6 = x^6 y^6 $. Выражение станет $ \frac{x^6 y^6}{x^5} $. Далее, применим свойство деления степеней с одинаковым основанием $ \frac{x^m}{x^n} = x^{m-n} $ для переменной $ x $: $ \frac{x^6}{x^5} = x^{6-5} = x^1 = x $. В результате получаем $ x y^6 $. Ответ: $ x y^6 $.

5) В выражении $ \frac{(a \cdot c)^{10}}{c^8} $ раскроем числитель по свойству степени произведения $ (xy)^n = x^n y^n $: $ (a \cdot c)^{10} = a^{10} c^{10} $. Получаем $ \frac{a^{10} c^{10}}{c^8} $. Теперь упростим, применив свойство деления степеней с одинаковым основанием $ \frac{x^m}{x^n} = x^{m-n} $ к переменной $ c $: $ \frac{c^{10}}{c^8} = c^{10-8} = c^2 $. Итоговое выражение: $ a^{10} c^2 $. Ответ: $ a^{10} c^2 $.

6) Упростим выражение $ m^{12} \cdot (\frac{n}{m})^{10} $. Сначала раскроем скобки, используя свойство возведения частного в степень $ (\frac{x}{y})^n = \frac{x^n}{y^n} $: $ (\frac{n}{m})^{10} = \frac{n^{10}}{m^{10}} $. Выражение примет вид $ m^{12} \cdot \frac{n^{10}}{m^{10}} $, что равно $ \frac{m^{12} n^{10}}{m^{10}} $. Применим свойство деления степеней для $ m $: $ \frac{m^{12}}{m^{10}} = m^{12-10} = m^2 $. Окончательный результат $ m^2 n^{10} $. Ответ: $ m^2 n^{10} $.

7) В выражении $ \frac{(x^5 y^6)^4}{x^{20} y^{22}} $ сначала упростим числитель. Используем свойство возведения произведения в степень $ (ab)^n=a^n b^n $, а затем свойство возведения степени в степень $ (x^m)^n = x^{mn} $: $ (x^5 y^6)^4 = (x^5)^4 \cdot (y^6)^4 = x^{5 \cdot 4} y^{6 \cdot 4} = x^{20} y^{24} $. Теперь выражение выглядит как $ \frac{x^{20} y^{24}}{x^{20} y^{22}} $. Применим свойство деления степеней для каждой переменной: $ \frac{x^{20}}{x^{20}} = x^{20-20} = x^0 = 1 $ и $ \frac{y^{24}}{y^{22}} = y^{24-22} = y^2 $. Результат: $ 1 \cdot y^2 = y^2 $. Ответ: $ y^2 $.

8) Упростим $ (\frac{a^4}{b^3})^5 \cdot b^{17} $. Сначала возведем дробь в степень, используя свойства $ (\frac{x}{y})^n = \frac{x^n}{y^n} $ и $ (x^m)^n = x^{mn} $: $ (\frac{a^4}{b^3})^5 = \frac{(a^4)^5}{(b^3)^5} = \frac{a^{20}}{b^{15}} $. Теперь выражение равно $ \frac{a^{20}}{b^{15}} \cdot b^{17} = \frac{a^{20} b^{17}}{b^{15}} $. Упростим степени с основанием $ b $, используя свойство частного степеней: $ \frac{b^{17}}{b^{15}} = b^{17-15} = b^2 $. В итоге получаем $ a^{20} b^2 $. Ответ: $ a^{20} b^2 $.

9) Рассмотрим выражение $ \frac{(x^8 y^4)^3}{x^{23} y^{12}} $. Упростим числитель, применив последовательно свойства степени произведения и степени степени: $ (x^8 y^4)^3 = (x^8)^3 \cdot (y^4)^3 = x^{8 \cdot 3} y^{4 \cdot 3} = x^{24} y^{12} $. Дробь принимает вид $ \frac{x^{24} y^{12}}{x^{23} y^{12}} $. Теперь применим правило деления степеней для $ x $ и $ y $: $ \frac{x^{24}}{x^{23}} = x^{24-23} = x^1 = x $ и $ \frac{y^{12}}{y^{12}} = y^{12-12} = y^0 = 1 $. Результат умножения $ x \cdot 1 = x $. Ответ: $ x $.