Номер 5.11, страница 44 - гдз по алгебре 7 класс учебник Абылкасымова, Кучер

5.11. Найдите значение выражения:

1) $(a^3b^5)^5 : (a^7b^{12})^2 \cdot (ab)^3$ при $a = -2, b = -\frac{1}{2}$;

2) $\left(\frac{a^4}{b^5}\right)^2 \cdot \left(\frac{b^6}{a^3}\right)^2 : (ab)$ при $a = -\frac{1}{3}, b = -3$.

1) Сначала упростим данное выражение, используя свойства степеней:

$(a^3b^5)^5 : (a^7b^{12})^2 \cdot (ab)^3$

Применяем правило возведения произведения в степень $(xy)^n = x^n y^n$ и правило возведения степени в степень $(x^m)^n = x^{mn}$:

$(a^{3 \cdot 5}b^{5 \cdot 5}) : (a^{7 \cdot 2}b^{12 \cdot 2}) \cdot (a^3b^3) = a^{15}b^{25} : a^{14}b^{24} \cdot a^3b^3$

Так как операции умножения и деления имеют одинаковый приоритет, выполняем их последовательно слева направо. Сначала деление, используя правило $x^m : x^n = x^{m-n}$:

$(a^{15-14}b^{25-24}) \cdot a^3b^3 = a^1b^1 \cdot a^3b^3 = ab \cdot a^3b^3$

Теперь выполним умножение, используя правило $x^m \cdot x^n = x^{m+n}$:

$a^{1+3}b^{1+3} = a^4b^4$

Упрощенное выражение можно также записать как $(ab)^4$.

Теперь подставим в упрощенное выражение значения $a = -2$ и $b = -\frac{1}{2}$:

$(ab)^4 = ((-2) \cdot (-\frac{1}{2}))^4 = (1)^4 = 1$

Ответ: 1

2) Сначала упростим данное выражение, используя свойства степеней:

$(\frac{a^4}{b^5})^2 \cdot (\frac{b^6}{a^3})^2 : (ab)$

Применяем правило возведения дроби в степень $(\frac{x}{y})^n = \frac{x^n}{y^n}$ и правило возведения степени в степень $(x^m)^n = x^{mn}$:

$\frac{(a^4)^2}{(b^5)^2} \cdot \frac{(b^6)^2}{(a^3)^2} : (ab) = \frac{a^{4 \cdot 2}}{b^{5 \cdot 2}} \cdot \frac{b^{6 \cdot 2}}{a^{3 \cdot 2}} : (ab) = \frac{a^8}{b^{10}} \cdot \frac{b^{12}}{a^6} : (ab)$

Выполним умножение дробей, используя правила $x^m \cdot x^n = x^{m+n}$ и $\frac{x^m}{x^n} = x^{m-n}$:

$\frac{a^8 b^{12}}{b^{10} a^6} : (ab) = (a^{8-6}b^{12-10}) : (ab) = a^2b^2 : (ab)$

Выполним деление:

$\frac{a^2b^2}{ab} = a^{2-1}b^{2-1} = ab$

Теперь подставим в упрощенное выражение значения $a = -\frac{1}{3}$ и $b = -3$:

$ab = (-\frac{1}{3}) \cdot (-3) = 1$

Ответ: 1