Номер 5.16, страница 45 - гдз по алгебре 7 класс учебник Абылкасымова, Кучер

5.16. Представьте число: 1) 64; 2) 729 в виде степени:

а) с отрицательным основанием;

б) с нечетным показателем.

1) 64

а) с отрицательным основанием

Чтобы представить положительное число 64 в виде степени с отрицательным основанием, показатель степени должен быть четным числом. Это следует из свойства степени: $(-a)^{2k} = a^{2k}$ для любого $a$ и целого $k$.

Найдем различные представления числа 64 в виде степени:

$64 = 8^2$

$64 = 4^3$

$64 = 2^6$

Из этих представлений выберем те, у которых четный показатель. Это $8^2$ и $2^6$.

Для представления $8^2$ мы можем записать: $64 = (-8)^2$. Здесь основание $-8$ отрицательное, а показатель $2$ четный.

Для представления $2^6$ мы можем записать: $64 = (-2)^6$. Здесь основание $-2$ отрицательное, а показатель $6$ четный.

Ответ: $64 = (-8)^2$ или $64 = (-2)^6$.

б) с нечетным показателем

Требуется найти такое основание $a$ и нечетный показатель $n$, что $a^n = 64$.

Рассмотрим ранее найденные представления числа 64 в виде степени: $8^2$, $4^3$, $2^6$.

Из них только у представления $4^3$ показатель степени является нечетным числом (3 - нечетное).

Проверим: $4^3 = 4 \cdot 4 \cdot 4 = 16 \cdot 4 = 64$.

Ответ: $64 = 4^3$.

2) 729

а) с отрицательным основанием

Чтобы представить положительное число 729 в виде степени с отрицательным основанием, показатель степени должен быть четным числом.

Найдем различные представления числа 729 в виде степени:

$729 = 27^2$

$729 = 9^3$

$729 = 3^6$

Выберем представления с четным показателем: $27^2$ и $3^6$.

Для представления $27^2$ мы можем записать: $729 = (-27)^2$. Здесь основание $-27$ отрицательное, а показатель $2$ четный.

Для представления $3^6$ мы можем записать: $729 = (-3)^6$. Здесь основание $-3$ отрицательное, а показатель $6$ четный.

Ответ: $729 = (-27)^2$ или $729 = (-3)^6$.

б) с нечетным показателем

Требуется найти такое основание $a$ и нечетный показатель $n$, что $a^n = 729$.

Рассмотрим ранее найденные представления числа 729 в виде степени: $27^2$, $9^3$, $3^6$.

Из них только у представления $9^3$ показатель степени является нечетным числом (3 - нечетное).

Проверим: $9^3 = 9 \cdot 9 \cdot 9 = 81 \cdot 9 = 729$.

Ответ: $729 = 9^3$.