Вопрос критерии успеха, страница 46 - гдз по алгебре 7 класс учебник Абылкасымова, Кучер

Как изменится число, если показатель степени числа 10 увеличить на 1; уменьшить на 1? Как записать очень малые числа?

увеличить на 1

Числа в стандартной форме записываются как произведение $a \times 10^n$, где $1 \le a < 10$, а $n$ — целое число, называемое порядком числа.

Если показатель степени $n$ числа 10 увеличить на 1, он станет равен $n+1$. Новое число будет равно $a \times 10^{n+1}$.

Используя свойство степеней $10^{n+1} = 10^n \times 10^1 = 10^n \times 10$, мы можем преобразовать выражение:

$a \times 10^{n+1} = a \times (10^n \times 10) = (a \times 10^n) \times 10$.

Это означает, что исходное число $(a \times 10^n)$ умножилось на 10.

Например: Возьмем число $4.5 \times 10^3$. Увеличим показатель степени на 1: $4.5 \times 10^{3+1} = 4.5 \times 10^4$.

Сравним значения: $4.5 \times 10^3 = 4500$, а $4.5 \times 10^4 = 45000$.

Число 45000 в 10 раз больше, чем 4500.

Ответ: число увеличится в 10 раз.

уменьшить на 1

Аналогично, если показатель степени $n$ числа 10 уменьшить на 1, он станет равен $n-1$. Новое число будет равно $a \times 10^{n-1}$.

Используя свойство степеней $10^{n-1} = 10^n \times 10^{-1} = 10^n \times \frac{1}{10}$, мы можем преобразовать выражение:

$a \times 10^{n-1} = a \times (10^n \times \frac{1}{10}) = (a \times 10^n) \div 10$.

Это означает, что исходное число $(a \times 10^n)$ разделилось на 10.

Например: Возьмем число $7.8 \times 10^5$. Уменьшим показатель степени на 1: $7.8 \times 10^{5-1} = 7.8 \times 10^4$.

Сравним значения: $7.8 \times 10^5 = 780000$, а $7.8 \times 10^4 = 78000$.

Число 78000 в 10 раз меньше, чем 780000.

Ответ: число уменьшится в 10 раз.

Как записать очень малые числа?

Очень малые числа (числа, близкие к нулю) удобно записывать в стандартном виде с использованием отрицательного показателя степени у числа 10.

Формула остается той же: $a \times 10^n$, но показатель $n$ будет отрицательным целым числом. Отрицательная степень $10^{-n}$ означает деление на 10 в степени $n$: $10^{-n} = \frac{1}{10^n}$.

Чтобы записать очень малое число в стандартном виде, нужно:

1. Переместить десятичную запятую вправо так, чтобы слева от нее осталась одна значащая цифра (от 1 до 9). Полученное число будет мантиссой $a$.

2. Посчитать, на сколько позиций была сдвинута запятая. Это число, взятое со знаком минус, будет показателем степени $n$.

Например, запишем число 0,000025 в стандартном виде:

1. Переносим запятую вправо, чтобы получить число от 1 до 10: $0,000025 \rightarrow 2,5$. Это мантисса $a=2,5$.

2. Запятая была сдвинута на 5 позиций вправо. Значит, показатель степени $n=-5$.

В результате получаем: $0,000025 = 2,5 \times 10^{-5}$.

Ответ: очень малые числа записывают в стандартном виде $a \times 10^n$, где $1 \le a < 10$, а $n$ — отрицательное целое число.