Вопросы для закрепления, страница 47 - гдз по алгебре 7 класс учебник Абылкасымова, Кучер

1. Как изменится значение степени числа 3, если показатель этой степени уменьшить на 1; увеличить на 2; уменьшить на 2?

2. Каким может быть основание степени с отрицательным показателем?

3. Почему число 0 может быть основанием степени с натуральным показателем, а с целым не может?

1. Пусть исходная степень имеет вид $3^n$. При изменении показателя степени $n$ значение выражения $3^n$ изменяется следующим образом:

• Если показатель уменьшить на 1, то новая степень будет $3^{n-1}$. Используя свойство степеней $a^{m-k} = a^m / a^k$, получаем $3^{n-1} = 3^n / 3^1 = 3^n / 3$. Следовательно, значение степени уменьшится в 3 раза.
• Если показатель увеличить на 2, то новая степень будет $3^{n+2}$. Используя свойство степеней $a^{m+k} = a^m \cdot a^k$, получаем $3^{n+2} = 3^n \cdot 3^2 = 3^n \cdot 9$. Следовательно, значение степени увеличится в 9 раз.
• Если показатель уменьшить на 2, то новая степень будет $3^{n-2}$. Используя свойство степеней $a^{m-k} = a^m / a^k$, получаем $3^{n-2} = 3^n / 3^2 = 3^n / 9$. Следовательно, значение степени уменьшится в 9 раз.

Ответ: Значение степени уменьшится в 3 раза; увеличится в 9 раз; уменьшится в 9 раз соответственно.

2. Степень с основанием $a$ и отрицательным целым показателем $-n$ (где $n$ - натуральное число) по определению равна $a^{-n} = \frac{1}{a^n}$. Это выражение определено только в том случае, если знаменатель $a^n$ не равен нулю. Знаменатель $a^n$ равен нулю только в одном случае: когда основание $a=0$ (и $n > 0$). Таким образом, чтобы избежать деления на ноль, основание степени $a$ не должно быть равно нулю ($a \neq 0$). Оно может быть любым другим действительным числом. Ответ: Основанием степени с отрицательным показателем может быть любое число, кроме нуля.

3. Множество натуральных чисел $N = \{1, 2, 3, ...\}$. Множество целых чисел $Z = \{..., -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, ...\}$.

Число 0 может быть основанием степени с натуральным показателем, так как для любого натурального $n$ выражение $0^n$ означает произведение $n$ нулей: $0^n = \underbrace{0 \cdot 0 \cdot ... \cdot 0}_{n \text{ раз}} = 0$. Эта операция всегда определена и ее результат равен 0.

Однако целые числа, в отличие от натуральных, включают также 0 и отрицательные числа. Если мы попытаемся возвести 0 в степень с целым, но не натуральным показателем, возникнут проблемы:

• Нулевой показатель: Выражение $0^0$ является неопределенностью. В разных разделах математики ему могут приписывать разные значения (например, 1), но в общем случае оно не определено.
• Отрицательный показатель: Пусть показатель равен $-n$, где $n$ - натуральное число. По определению, $0^{-n} = \frac{1}{0^n}$. Так как $0^n = 0$, мы получаем $\frac{1}{0}$, что является операцией деления на ноль, а она не определена.

Поскольку возведение нуля в нулевую или отрицательную степень не определено, говорят, что число 0 не может быть основанием степени с целым показателем, так как для некоторых целых показателей результат не существует. Ответ: Потому что множество целых показателей включает 0 и отрицательные числа, а возведение 0 в нулевую или отрицательную степень является неопределенной операцией (приводит к неопределенности $0^0$ или к делению на ноль).