Номер 6.6, страница 48 - гдз по алгебре 7 класс учебник Абылкасымова, Кучер

6.6. Замените дробью степень с целым отрицательным показателем:

1) $ (25)^{-1} $;

2) $ (0,125)^{-2} $;

3) $ (-2,5)^{-2} $;

4) $ \left(\frac{2}{5}\right)^{-1} $;

5) $ \left(2 \frac{1}{3}\right)^{-3} $;

6) $ \left(-\frac{2}{7}\right)^{-2} $.

Для замены степени с целым отрицательным показателем на дробь используется основное свойство: $a^{-n} = \frac{1}{a^n}$ для любого числа $a \neq 0$ и целого положительного $n$. Для дробей это свойство удобно записывать в виде $(\frac{a}{b})^{-n} = (\frac{b}{a})^n$.

1) Используя свойство $a^{-n} = \frac{1}{a^n}$, для выражения $(25)^{-1}$ получаем: $(25)^{-1} = \frac{1}{25^1} = \frac{1}{25}$. Ответ: $\frac{1}{25}$.

2) Сначала представим десятичную дробь 0,125 в виде обыкновенной дроби: $0,125 = \frac{125}{1000} = \frac{1}{8}$. Теперь исходное выражение можно переписать и вычислить: $(0,125)^{-2} = (\frac{1}{8})^{-2} = (\frac{8}{1})^2 = 8^2 = 64$. Ответ: 64.

3) Преобразуем десятичное число -2,5 в обыкновенную дробь: $-2,5 = -\frac{25}{10} = -\frac{5}{2}$. Затем возведем в степень: $(-2,5)^{-2} = (-\frac{5}{2})^{-2} = (-\frac{2}{5})^2$. Так как показатель степени четный (2), отрицательное основание дает положительный результат: $(-\frac{2}{5})^2 = \frac{(-2)^2}{5^2} = \frac{4}{25}$. Ответ: $\frac{4}{25}$.

4) Для дроби в отрицательной степени применим правило $(\frac{a}{b})^{-n} = (\frac{b}{a})^n$. Таким образом, $(\frac{2}{5})^{-1} = (\frac{5}{2})^1 = \frac{5}{2}$. Ответ: $\frac{5}{2}$.

5) Сначала преобразуем смешанное число $2\frac{1}{3}$ в неправильную дробь: $2\frac{1}{3} = \frac{2 \cdot 3 + 1}{3} = \frac{7}{3}$. Теперь вычислим значение степени: $(2\frac{1}{3})^{-3} = (\frac{7}{3})^{-3} = (\frac{3}{7})^3 = \frac{3^3}{7^3} = \frac{27}{343}$. Ответ: $\frac{27}{343}$.

6) Применим правило для дроби в отрицательной степени: $(-\frac{2}{7})^{-2} = (-\frac{7}{2})^2$. Поскольку показатель степени четный, результат будет положительным: $(-\frac{7}{2})^2 = \frac{(-7)^2}{2^2} = \frac{49}{4}$. Ответ: $\frac{49}{4}$.