Номер 6.12, страница 49 - гдз по алгебре 7 класс учебник Абылкасымова, Кучер

Подготовьтесь к овладению новыми знаниями

6.12. Упростите выражение:

1) $(5^3 \cdot 5^2)^4 : 5^{15}$;

2) $(3^3)^4 \cdot 9^2 : 3^{10}$;

3) $3^2 \cdot (-3)^4 - 3^6$;

4) $25^3 : 5^2$;

5) $3^4 \cdot 9$;

6) $4^2 \cdot (-4).$

1) В выражении $(5^3 \cdot 5^2)^4 : 5^{15}$ сначала упростим произведение в скобках, используя свойство $a^m \cdot a^n = a^{m+n}$, что дает $5^{3+2} = 5^5$. Далее, возводим степень в степень по свойству $(a^m)^n = a^{m \cdot n}$: $(5^5)^4 = 5^{5 \cdot 4} = 5^{20}$. Наконец, выполняем деление степеней с одинаковым основанием по свойству $a^m : a^n = a^{m-n}$: $5^{20} : 5^{15} = 5^{20-15} = 5^5$. Вычислим результат: $5^5 = 3125$. Ответ: 3125.

2) В выражении $(3^3)^4 \cdot 9^2 : 3^{10}$ сначала возведем степень в степень: $(3^3)^4 = 3^{3 \cdot 4} = 3^{12}$. Затем представим $9^2$ как степень с основанием 3: $9^2 = (3^2)^2 = 3^{2 \cdot 2} = 3^4$. Выражение принимает вид $3^{12} \cdot 3^4 : 3^{10}$. Выполняем умножение и деление по порядку, используя свойства степеней: $3^{12+4} : 3^{10} = 3^{16} : 3^{10} = 3^{16-10} = 3^6$. Вычислим результат: $3^6 = 729$. Ответ: 729.

3) В выражении $3^2 \cdot (-3)^4 - 3^6$ учтем, что четная степень отрицательного числа является положительным числом: $(-3)^4 = 3^4$. Тогда выражение преобразуется в $3^2 \cdot 3^4 - 3^6$. Умножаем степени с одинаковым основанием: $3^2 \cdot 3^4 = 3^{2+4} = 3^6$. В итоге получаем разность $3^6 - 3^6 = 0$. Ответ: 0.

4) В выражении $25^3 : 5^2$ представим число $25$ как степень пятерки: $25 = 5^2$. Тогда $25^3 = (5^2)^3 = 5^{2 \cdot 3} = 5^6$. Выражение становится $5^6 : 5^2$. При делении степеней с одинаковым основанием их показатели вычитаются: $5^{6-2} = 5^4$. Вычислим результат: $5^4 = 625$. Ответ: 625.

5) В выражении $3^4 \cdot 9$ представим $9$ как степень тройки: $9 = 3^2$. Тогда выражение имеет вид $3^4 \cdot 3^2$. При умножении степеней с одинаковым основанием их показатели складываются: $3^4 \cdot 3^2 = 3^{4+2} = 3^6$. Вычислим результат: $3^6 = 729$. Ответ: 729.

6) В выражении $4^2 \cdot (-4)$ мы имеем произведение степеней с основанием 4, но с разными знаками. Можно записать $(-4)$ как $(-1) \cdot 4^1$. Тогда выражение равно $4^2 \cdot (-1) \cdot 4^1 = -1 \cdot (4^2 \cdot 4^1)$. Складываем показатели степеней: $4^{2+1} = 4^3$. Итоговый результат: $-1 \cdot 4^3 = -4^3$. Вычислим значение: $-64$. Ответ: -64.