Вопросы для закрепления, страница 53 - гдз по алгебре 7 класс учебник Абылкасымова, Кучер

1. Почему при использовании свойств степеней с целыми показателями основания степеней не должны равняться нулю?

2. Может ли в результате деления степеней с одинаковыми основаниями получиться $\text{0}$?

1. Основания степеней не должны равняться нулю при использовании свойств степеней с целыми показателями, потому что это приводит к математически неопределенным операциям, в частности к делению на ноль. Рассмотрим основные случаи, где возникает эта проблема.

Во-первых, это определение степени с нулевым показателем. Свойство деления степеней с одинаковыми основаниями выглядит так: $a^m : a^n = a^{m-n}$. Если мы возьмем случай, когда $m=n$, то получим: $a^n : a^n = a^{n-n} = a^0$. С другой стороны, деление любого ненулевого числа на само себя дает 1. Чтобы эти два факта были согласованы, принимается определение, что $a^0 = 1$. Однако если бы основание $a$ было равно нулю, то при $n>0$ мы бы получили выражение $0^n : 0^n = 0:0$, которое является неопределенностью. Чтобы избежать этого, вводится ограничение $a \neq 0$ для определения степени с нулевым показателем.

Во-вторых, это определение степени с отрицательным целым показателем. По определению, для любого $a \neq 0$ и натурального числа $n$, степень с отрицательным показателем равна $a^{-n} = \frac{1}{a^n}$. Если бы мы допустили, что основание $a$ может быть равно нулю, то получили бы выражение $0^{-n} = \frac{1}{0^n} = \frac{1}{0}$. Деление на ноль является недопустимой операцией в математике.

Таким образом, чтобы все свойства степеней с целыми показателями были корректно определены и работали без исключений, вводится обязательное условие: основание степени не должно равняться нулю.

Ответ: Основание степени с целым показателем не должно равняться нулю, так как это приводит к неопределенным математическим операциям, таким как деление на ноль (в случае отрицательного или нулевого показателя).

2. Нет, в результате деления степеней с одинаковыми основаниями получиться 0 не может.

Рассмотрим операцию деления степеней с одинаковым основанием $a$: $\frac{a^m}{a^n} = a^{m-n}$.

Как было объяснено в предыдущем пункте, для корректного применения свойств степеней с целыми показателями (включая деление), основание степени $a$ не должно быть равно нулю ($a \neq 0$).

Теперь нужно выяснить, может ли результат операции, то есть степень $a^{m-n}$, равняться нулю при условии, что $a \neq 0$. Обозначим показатель степени как $k = m-n$.

• Если показатель $k$ — положительное целое число, то $a^k$ — это произведение $k$ множителей, равных $a$. Произведение ненулевых чисел всегда отлично от нуля.
• Если показатель $k$ равен нулю, то $a^0 = 1$, что не равно нулю.
• Если показатель $k$ — отрицательное целое число (например, $k = -p$, где $p$ — натуральное число), то $a^k = a^{-p} = \frac{1}{a^p}$. Так как $a \neq 0$, то и $a^p \neq 0$. Следовательно, дробь $\frac{1}{a^p}$ также не может быть равна нулю.

Таким образом, любая целая степень ненулевого числа $a$ всегда будет отлична от нуля. Следовательно, и результат деления степеней с одинаковыми основаниями не может быть равен нулю.

Ответ: Нет, не может. Для выполнения деления степеней их основание не должно быть равно нулю, а любая целая степень ненулевого числа всегда отлична от нуля.