Номер 7.2, страница 53 - гдз по алгебре 7 класс учебник Абылкасымова, Кучер

7.2. Представьте в виде степени с целым показателем выражение:

1) $125 \cdot 5^{-4}$;

2) $27 \cdot \frac{1}{9} \cdot 3^{-4} : 3^{-2}$;

3) $\frac{1}{32} \cdot 2^7 : 64$;

4) $100^2 \cdot 10^{-3}$.

1) В выражении $125 \cdot 5^{-4}$ представим число 125 в виде степени с основанием 5. Так как $125 = 5^3$, выражение можно переписать в виде $5^3 \cdot 5^{-4}$. При умножении степеней с одинаковым основанием их показатели складываются ($a^m \cdot a^n = a^{m+n}$). Следовательно, $5^3 \cdot 5^{-4} = 5^{3+(-4)} = 5^{3-4} = 5^{-1}$. Ответ: $5^{-1}$.

2) Для упрощения выражения $27 \cdot \frac{1}{9} \cdot 3^{-4} : 3^{-2}$ приведем все числа к степеням с основанием 3. Мы знаем, что $27 = 3^3$ и $\frac{1}{9} = \frac{1}{3^2} = 3^{-2}$. Подставив эти значения, получим: $3^3 \cdot 3^{-2} \cdot 3^{-4} : 3^{-2}$. Применяя свойства степеней, согласно которым при умножении показатели складываются, а при делении вычитаются, объединим все показатели: $3^{3 + (-2) + (-4) - (-2)} = 3^{3-2-4+2} = 3^{-1}$. Ответ: $3^{-1}$.

3) Чтобы представить выражение $\frac{1}{32} \cdot 2^7 : 64$ в виде степени, приведем все числа к основанию 2. Число 32 равно $2^5$, значит $\frac{1}{32} = 2^{-5}$. Число 64 равно $2^6$. Выражение принимает вид $2^{-5} \cdot 2^7 : 2^6$. Выполним действия с показателями степеней: при умножении они складываются, а при делении вычитаются. Получаем $2^{-5+7-6} = 2^{2-6} = 2^{-4}$. Ответ: $2^{-4}$.

4) В выражении $100^2 \cdot 10^{-3}$ представим 100 как степень 10, то есть $100 = 10^2$. Выражение становится $(10^2)^2 \cdot 10^{-3}$. По свойству возведения степени в степень ($(a^m)^n = a^{m \cdot n}$), получаем $(10^2)^2 = 10^{2 \cdot 2} = 10^4$. Теперь выражение выглядит как $10^4 \cdot 10^{-3}$. При умножении степеней с одинаковым основанием показатели складываются: $10^{4+(-3)} = 10^{4-3} = 10^1$. Ответ: $10^1$.