Номер 7.4, страница 53 - гдз по алгебре 7 класс учебник Абылкасымова, Кучер

7.4. Найдите значение выражения:

1) $10^{-3} : 0,001;$

2) $13^0 \cdot (13^{-2}) : 13^{-4};$

3) $\frac{(3^{-2})^{-2} \cdot 9^{-1}}{27};$

4) $\frac{25^{-2} \cdot 125}{5^3};$

1) Чтобы найти значение выражения $10^{-3} : 0,001$, воспользуемся определением степени с отрицательным показателем.

Степень $a^{-n}$ равна $\frac{1}{a^n}$.

Следовательно, $10^{-3} = \frac{1}{10^3} = \frac{1}{1000} = 0,001$.

Теперь подставим это значение в исходное выражение:

$0,001 : 0,001 = 1$.

Ответ: 1

2) Для вычисления выражения $13^0 \cdot 13^{-2} : 13^{-4}$ применим свойства степеней.

Любое число в нулевой степени равно 1: $13^0 = 1$.

При умножении степеней с одинаковым основанием их показатели складываются: $a^m \cdot a^n = a^{m+n}$.

При делении степеней с одинаковым основанием их показатели вычитаются: $a^m : a^n = a^{m-n}$.

Выполним действия по порядку:

$13^0 \cdot 13^{-2} = 1 \cdot 13^{-2} = 13^{-2}$.

Теперь разделим результат на $13^{-4}$:

$13^{-2} : 13^{-4} = 13^{-2 - (-4)} = 13^{-2+4} = 13^2$.

Осталось возвести 13 в квадрат:

$13^2 = 169$.

Ответ: 169

3) Найдем значение выражения $\frac{(3^{-2})^{-2} \cdot 9^{-1}}{27}$. Для этого приведем все степени к одному основанию — 3.

Используем свойство возведения степени в степень $(a^m)^n = a^{m \cdot n}$:

$(3^{-2})^{-2} = 3^{(-2) \cdot (-2)} = 3^4$.

Представим числа 9 и 27 в виде степеней числа 3:

$9 = 3^2$, тогда $9^{-1} = (3^2)^{-1} = 3^{-2}$.

$27 = 3^3$.

Подставим полученные значения в исходное выражение:

$\frac{3^4 \cdot 3^{-2}}{3^3}$.

Упростим числитель, сложив показатели степеней:

$3^4 \cdot 3^{-2} = 3^{4+(-2)} = 3^2$.

Теперь разделим числитель на знаменатель, вычитая показатели:

$\frac{3^2}{3^3} = 3^{2-3} = 3^{-1} = \frac{1}{3}$.

Ответ: $\frac{1}{3}$

4) Найдем значение выражения $\frac{25^{-2} \cdot 125}{5^3}$. Приведем все числа к основанию 5.

Представим числа 25 и 125 в виде степеней числа 5:

$25 = 5^2$, тогда $25^{-2} = (5^2)^{-2} = 5^{2 \cdot (-2)} = 5^{-4}$.

$125 = 5^3$.

Подставим эти значения в дробь:

$\frac{5^{-4} \cdot 5^3}{5^3}$.

Упростим числитель, сложив показатели степеней:

$5^{-4} \cdot 5^3 = 5^{-4+3} = 5^{-1}$.

Дробь примет вид:

$\frac{5^{-1}}{5^3}$.

Выполним деление, вычитая показатели степеней:

$5^{-1-3} = 5^{-4}$.

Вычислим конечный результат:

$5^{-4} = \frac{1}{5^4} = \frac{1}{625}$.

Ответ: $\frac{1}{625}$