Номер 7.10, страница 54 - гдз по алгебре 7 класс учебник Абылкасымова, Кучер

Сравните значения выражений (7.9-7.10):

7.10.

1) $13^0 \cdot 3^{-3} : 2^3$ и $10^2 \cdot 5^{-2} : 2^3$;

2) $\frac{14^0 \cdot 3^2}{2 \cdot 3^3} : 4^{-2}$ и $\frac{21^3 \cdot 9^{-2}}{7^3}$.

1) Сравним значения выражений $13^0 \cdot 3^{-3} : 2^3$ и $10^2 \cdot 5^{-2} : 2^3$.

Сначала упростим первое выражение: $13^0 \cdot 3^{-3} : 2^3$.

Используем свойства степеней: любое число в нулевой степени равно 1 ($a^0=1$), и $a^{-n} = \frac{1}{a^n}$.

$13^0 = 1$

$3^{-3} = \frac{1}{3^3} = \frac{1}{27}$

$2^3 = 8$

Подставляем значения в выражение:

$1 \cdot \frac{1}{27} : 8 = \frac{1}{27} : 8 = \frac{1}{27 \cdot 8} = \frac{1}{216}$.

Теперь упростим второе выражение: $10^2 \cdot 5^{-2} : 2^3$.

Представим $10^2$ как $(2 \cdot 5)^2 = 2^2 \cdot 5^2$.

Выражение примет вид: $(2^2 \cdot 5^2) \cdot 5^{-2} : 2^3$.

Используем свойство $a^m \cdot a^n = a^{m+n}$ и $a^m : a^n = a^{m-n}$.

$2^2 \cdot 5^{2+(-2)} : 2^3 = 2^2 \cdot 5^0 : 2^3 = 2^2 \cdot 1 : 2^3 = 2^{2-3} = 2^{-1} = \frac{1}{2}$.

Сравним полученные значения: $\frac{1}{216}$ и $\frac{1}{2}$.

Из двух дробей с одинаковыми числителями больше та, у которой знаменатель меньше.

Так как $2 < 216$, то $\frac{1}{2} > \frac{1}{216}$.

Следовательно, $13^0 \cdot 3^{-3} : 2^3 < 10^2 \cdot 5^{-2} : 2^3$.

Ответ: $13^0 \cdot 3^{-3} : 2^3 < 10^2 \cdot 5^{-2} : 2^3$.

2) Сравним значения выражений $\frac{14^0 \cdot 3^2 : 4^{-2}}{2 \cdot 3^3}$ и $\frac{21^3 \cdot 9^{-2}}{7^3}$.

Рассмотрим первое выражение: $\frac{14^0 \cdot 3^2 : 4^{-2}}{2 \cdot 3^3}$.

Упростим числитель: $14^0 \cdot 3^2 : 4^{-2} = 1 \cdot 9 : \frac{1}{4^2} = 9 : \frac{1}{16} = 9 \cdot 16 = 144$.

Упростим знаменатель: $2 \cdot 3^3 = 2 \cdot 27 = 54$.

Получаем дробь: $\frac{144}{54}$. Сократим ее на 18 (или последовательно на 9 и 2):

$\frac{144}{54} = \frac{144:18}{54:18} = \frac{8}{3}$.

Рассмотрим второе выражение: $\frac{21^3 \cdot 9^{-2}}{7^3}$.

Разложим числа в основаниях степеней на простые множители: $21 = 3 \cdot 7$, $9 = 3^2$.

$\frac{(3 \cdot 7)^3 \cdot (3^2)^{-2}}{7^3} = \frac{3^3 \cdot 7^3 \cdot 3^{2 \cdot (-2)}}{7^3} = \frac{3^3 \cdot 7^3 \cdot 3^{-4}}{7^3}$.

Сгруппируем степени с одинаковыми основаниями:

$\frac{3^{3-4} \cdot 7^3}{7^3} = \frac{3^{-1} \cdot 7^3}{7^3}$.

Сократим $7^3$ в числителе и знаменателе:

$3^{-1} = \frac{1}{3}$.

Сравним полученные результаты: $\frac{8}{3}$ и $\frac{1}{3}$.

Из двух дробей с одинаковыми знаменателями больше та, у которой числитель больше.

Так как $8 > 1$, то $\frac{8}{3} > \frac{1}{3}$.

Следовательно, $\frac{14^0 \cdot 3^2 : 4^{-2}}{2 \cdot 3^3} > \frac{21^3 \cdot 9^{-2}}{7^3}$.

Ответ: $\frac{14^0 \cdot 3^2 : 4^{-2}}{2 \cdot 3^3} > \frac{21^3 \cdot 9^{-2}}{7^3}$.