Номер 7.14, страница 54 - гдз по алгебре 7 класс учебник Абылкасымова, Кучер

7.14. Найдите наибольшее целое число, которое удовлетворяет неравенству:

1) $4^{-2x} \le 12.75 - 4^{-1}$;

2) $12^2 + 3^{4x} \le 8^{2x} + 6^{-1}$;

3) $4^{-1}x \le 13^0 - 12^{-1} - 3x$.

1) Решим неравенство $4^{-2}x \le 12,75 - 4^{-1}$. Сначала вычислим значения: $4^{-2} = \frac{1}{16}$, $12,75 = \frac{51}{4}$ и $4^{-1} = \frac{1}{4}$. Неравенство принимает вид $\frac{1}{16}x \le \frac{51}{4} - \frac{1}{4}$. Упростим правую часть: $\frac{1}{16}x \le \frac{50}{4}$, или $\frac{1}{16}x \le \frac{25}{2}$. Умножим обе части на 16, чтобы найти $x$: $x \le \frac{25}{2} \cdot 16$, что дает $x \le 200$. Наибольшее целое число, удовлетворяющее этому неравенству, это 200. Ответ: 200

2) Решим неравенство $12^2 + 3^4x \le 8^2 \cdot x + 6^{-1}$. Вычислим степени: $12^2 = 144$, $3^4 = 81$, $8^2 = 64$ и $6^{-1} = \frac{1}{6}$. Неравенство принимает вид $144 + 81x \le 64x + \frac{1}{6}$. Перенесем слагаемые с $x$ в левую часть, а постоянные члены — в правую: $81x - 64x \le \frac{1}{6} - 144$. Упростим обе части: $17x \le \frac{1 - 144 \cdot 6}{6}$, что дает $17x \le \frac{1 - 864}{6}$ или $17x \le -\frac{863}{6}$. Разделим обе части на 17: $x \le -\frac{863}{6 \cdot 17}$, то есть $x \le -\frac{863}{102}$. Чтобы найти наибольшее целое решение, преобразуем дробь в смешанное число: $-\frac{863}{102} = -8\frac{47}{102}$. Таким образом, мы ищем наибольшее целое число $x$ такое, что $x \le -8\frac{47}{102}$. Этим числом является -9. Ответ: -9

3) Решим неравенство $4^{-1}x \le 13^0 - 12^{-1} - 3x$. Сначала вычислим числовые значения: $4^{-1} = \frac{1}{4}$, $13^0 = 1$, $12^{-1} = \frac{1}{12}$. Неравенство примет вид $\frac{1}{4}x \le 1 - \frac{1}{12} - 3x$. Перенесем слагаемые с $x$ в левую часть, а свободные члены оставим справа: $\frac{1}{4}x + 3x \le 1 - \frac{1}{12}$. Приведем к общему знаменателю и упростим обе части: $(\frac{1}{4} + \frac{12}{4})x \le \frac{12}{12} - \frac{1}{12}$, что дает $\frac{13}{4}x \le \frac{11}{12}$. Чтобы найти $x$, умножим обе части на $\frac{4}{13}$: $x \le \frac{11}{12} \cdot \frac{4}{13}$. Сократим дробь в правой части: $x \le \frac{11}{3 \cdot 13}$, то есть $x \le \frac{11}{39}$. Поскольку $\frac{11}{39}$ является положительным числом, меньшим единицы ($0 < \frac{11}{39} < 1$), наибольшее целое число, которое удовлетворяет этому неравенству, равно 0. Ответ: 0