Номер 7.17, страница 55 - гдз по алгебре 7 класс учебник Абылкасымова, Кучер

7.17. Вычислите:

1) $183^0 \cdot 5^3 : 3^2 + \frac{2}{9}$;

2) $100^2 \cdot 5^2 : 2^3$;

3) $\frac{155^0 \cdot 3^2 \cdot 4^2}{8 \cdot 3^3}$.

1) $183^0 \cdot 5^3 : 3^2 + \frac{2}{9}$

Для решения этого примера необходимо соблюдать порядок действий: сначала возведение в степень, затем умножение и деление (слева направо), и в последнюю очередь сложение.

1. Вычислим значения степеней. Любое число, кроме нуля, в нулевой степени равно единице: $183^0 = 1$.

Далее: $5^3 = 5 \cdot 5 \cdot 5 = 125$.

И: $3^2 = 3 \cdot 3 = 9$.

2. Подставим полученные значения в исходное выражение:

$1 \cdot 125 : 9 + \frac{2}{9}$

3. Выполним умножение и деление. Деление можно представить в виде дроби:

$1 \cdot 125 : 9 = 125 : 9 = \frac{125}{9}$.

4. Теперь выполним сложение:

$\frac{125}{9} + \frac{2}{9} = \frac{125 + 2}{9} = \frac{127}{9}$.

Полученную неправильную дробь можно преобразовать в смешанное число: $\frac{127}{9} = 14\frac{1}{9}$.

Ответ: $\frac{127}{9}$.

2) $100^2 \cdot 5^2 : 2^3$

Для упрощения вычислений воспользуемся свойствами степеней. Это позволит избежать работы с большими числами.

1. Представим число 100 в виде произведения простых множителей в степенях: $100 = 10^2 = (2 \cdot 5)^2 = 2^2 \cdot 5^2$.

2. Возведем полученное выражение в квадрат, используя свойство $(a \cdot b)^n = a^n \cdot b^n$ и $(a^m)^n = a^{m \cdot n}$:

$100^2 = (2^2 \cdot 5^2)^2 = (2^2)^2 \cdot (5^2)^2 = 2^4 \cdot 5^4$.

3. Подставим это в исходное выражение:

$(2^4 \cdot 5^4) \cdot 5^2 : 2^3$

4. Сгруппируем степени с одинаковыми основаниями и применим правила действий со степенями $a^m \cdot a^n = a^{m+n}$ и $a^m : a^n = a^{m-n}$:

$(2^4 : 2^3) \cdot (5^4 \cdot 5^2) = 2^{4-3} \cdot 5^{4+2} = 2^1 \cdot 5^6$.

5. Осталось вычислить результат:

$2^1 = 2$.

$5^6 = 5^3 \cdot 5^3 = 125 \cdot 125 = 15625$.

$2 \cdot 15625 = 31250$.

Ответ: $31250$.

3) $\frac{155^0 \cdot 3^2 \cdot 4^2}{8 \cdot 3^3}$

Упростим числитель и знаменатель дроби, используя свойства степеней, а затем сократим ее.

1. В числителе $155^0 = 1$.

2. Представим числа 4 и 8 в виде степеней с основанием 2: $4 = 2^2$ и $8 = 2^3$.

3. Подставим эти значения в дробь:

$\frac{1 \cdot 3^2 \cdot (2^2)^2}{2^3 \cdot 3^3}$

4. Применим свойство $(a^m)^n = a^{m \cdot n}$ к числителю: $(2^2)^2 = 2^{2 \cdot 2} = 2^4$.

5. Дробь примет вид:

$\frac{3^2 \cdot 2^4}{3^3 \cdot 2^3}$

6. Теперь сократим дробь, разделив степени с одинаковыми основаниями, используя правило $\frac{a^m}{a^n} = a^{m-n}$:

$\frac{2^4}{2^3} \cdot \frac{3^2}{3^3} = 2^{4-3} \cdot 3^{2-3} = 2^1 \cdot 3^{-1}$.

7. Учитывая, что степень с отрицательным показателем $a^{-n} = \frac{1}{a^n}$, получаем $3^{-1} = \frac{1}{3}$.

8. Перемножим полученные значения:

$2 \cdot \frac{1}{3} = \frac{2}{3}$.

Ответ: $\frac{2}{3}$.