Номер 8.3, страница 59 - гдз по алгебре 7 класс учебник Абылкасымова, Кучер

8.3. Упростите выражения и найдите их значения:

1) $a^{10}b^{17} : (a^4b^8)^2$ при $a = 3\frac{1}{2}$ и $b = \frac{4}{7}$;

2) $(x^{14})^2 \cdot (y^{20})^3 : (x^9y^{19})^3$ при $x = \frac{6}{11}$ и $y = -11$;

3) $(m^6)^4 \cdot (n^8)^2 : (m^{11}n^7)^2$ при $m = -\frac{8}{9}$ и $n = 0,81$;

4) $(c^{10}d^6)^3 : (c^9)^3 : (d^2)^8$ при $c = -0,25$ и $d = \frac{4}{5}$.

1) Сначала упростим выражение $a^{10}b^{17} : (a^4b^8)^2$.

Используя свойство степени произведения $(xy)^n = x^n y^n$, раскроем скобки: $(a^4b^8)^2 = (a^4)^2(b^8)^2$.

Используя свойство возведения степени в степень $(x^m)^n = x^{mn}$, получим: $a^{4 \cdot 2}b^{8 \cdot 2} = a^8b^{16}$.

Теперь выражение выглядит так: $a^{10}b^{17} : a^8b^{16}$.

При делении степеней с одинаковыми основаниями их показатели вычитаются: $\frac{x^m}{x^n} = x^{m-n}$.

Получаем: $a^{10-8}b^{17-16} = a^2b^1 = a^2b$.

Теперь подставим значения $a = 3\frac{1}{2}$ и $b = \frac{4}{7}$.

Переведем смешанное число в неправильную дробь: $a = 3\frac{1}{2} = \frac{3 \cdot 2 + 1}{2} = \frac{7}{2}$.

Вычисляем значение выражения: $a^2b = (\frac{7}{2})^2 \cdot \frac{4}{7} = \frac{7^2}{2^2} \cdot \frac{4}{7} = \frac{49}{4} \cdot \frac{4}{7} = \frac{49 \cdot 4}{4 \cdot 7}$.

Сокращаем дроби: $\frac{49}{7} = 7$.

Ответ: 7

2) Упростим выражение $(x^{14})^2 \cdot (y^{20})^3 : (x^9y^{19})^3$.

Применим правило возведения степени в степень $(x^m)^n = x^{mn}$ и правило степени произведения $(xy)^n = x^n y^n$.

$(x^{14})^2 = x^{14 \cdot 2} = x^{28}$.

$(y^{20})^3 = y^{20 \cdot 3} = y^{60}$.

$(x^9y^{19})^3 = (x^9)^3(y^{19})^3 = x^{9 \cdot 3}y^{19 \cdot 3} = x^{27}y^{57}$.

Выражение принимает вид: $x^{28} \cdot y^{60} : (x^{27}y^{57})$.

При делении степеней с одинаковыми основаниями их показатели вычитаются: $\frac{x^{28}y^{60}}{x^{27}y^{57}} = x^{28-27}y^{60-57} = x^1y^3 = xy^3$.

Подставим значения $x = \frac{6}{11}$ и $y = -11$.

Вычисляем: $xy^3 = \frac{6}{11} \cdot (-11)^3 = \frac{6}{11} \cdot (-1331)$.

Так как $-1331 = -11 \cdot 121$, то $\frac{6}{11} \cdot (-11 \cdot 121) = 6 \cdot (-121) = -726$.

Ответ: -726

3) Упростим выражение $(m^6)^4 \cdot (n^8)^2 : (m^{11}n^7)^2$.

Используем свойства степеней: $(m^6)^4 = m^{24}$, $(n^8)^2 = n^{16}$, $(m^{11}n^7)^2 = m^{22}n^{14}$.

Получаем: $m^{24}n^{16} : (m^{22}n^{14}) = \frac{m^{24}n^{16}}{m^{22}n^{14}}$.

Вычитаем показатели степеней: $m^{24-22}n^{16-14} = m^2n^2$.

Это выражение можно записать как $(mn)^2$.

Подставим значения $m = -\frac{8}{9}$ и $n = 0,81$.

Переведем десятичную дробь в обыкновенную: $n = 0,81 = \frac{81}{100}$.

Найдем произведение $mn$: $mn = (-\frac{8}{9}) \cdot \frac{81}{100} = -\frac{8 \cdot 81}{9 \cdot 100}$.

Сокращаем: $81$ и $9$ на $9$, $8$ и $100$ на $4$.

$mn = -\frac{2 \cdot 9}{1 \cdot 25} = -\frac{18}{25}$.

Теперь возведем результат в квадрат: $(mn)^2 = (-\frac{18}{25})^2 = \frac{18^2}{25^2} = \frac{324}{625}$.

Ответ: $\frac{324}{625}$

4) Упростим выражение $(c^{10}d^6)^3 : (c^9)^3 : (d^2)^8$.

Применим свойства степеней:

$(c^{10}d^6)^3 = c^{10 \cdot 3}d^{6 \cdot 3} = c^{30}d^{18}$.

$(c^9)^3 = c^{9 \cdot 3} = c^{27}$.

$(d^2)^8 = d^{2 \cdot 8} = d^{16}$.

Выражение принимает вид: $c^{30}d^{18} : c^{27} : d^{16} = \frac{c^{30}d^{18}}{c^{27}d^{16}}$.

Вычитаем показатели: $c^{30-27}d^{18-16} = c^3d^2$.

Подставим значения $c = -0,25$ и $d = \frac{4}{5}$.

Переведем десятичную дробь в обыкновенную: $c = -0,25 = -\frac{1}{4}$.

Вычисляем: $c^3d^2 = (-\frac{1}{4})^3 \cdot (\frac{4}{5})^2 = (-\frac{1^3}{4^3}) \cdot (\frac{4^2}{5^2}) = (-\frac{1}{64}) \cdot \frac{16}{25}$.

Производим умножение: $-\frac{1 \cdot 16}{64 \cdot 25}$.

Сокращаем $16$ и $64$ на $16$: $-\frac{1}{4 \cdot 25} = -\frac{1}{100}$.

Ответ: $-\frac{1}{100}$