Номер 8.7, страница 59 - гдз по алгебре 7 класс учебник Абылкасымова, Кучер

8.7. Докажите, что при любых значениях переменной равно единице значение выражения:

1) $(a^5)^6 \cdot (a^4b^2)^7 : (a^{29}b^7)^2;$

2) $(a^4b^5)^3 \cdot (a^8b^9) : (a^{10}b^{12})^2;$

3) $(c^8)^6 \cdot (d^{18})^3 : (c^8d^9)^6;$

4) $(x^{11}y^2)^4 \cdot (y^5)^2 : (x^{22}y^9)^2.$

1) Чтобы доказать, что значение выражения $(a^5)^6 \cdot (a^4b^2)^7 : (a^{29}b^7)^2$ равно единице, мы упростим его, используя свойства степеней.

Сначала раскроем скобки, используя правило возведения степени в степень $(x^m)^n = x^{mn}$ и правило возведения произведения в степень $(xy)^n = x^n y^n$.

$(a^5)^6 = a^{5 \cdot 6} = a^{30}$

$(a^4b^2)^7 = (a^4)^7 \cdot (b^2)^7 = a^{4 \cdot 7} \cdot b^{2 \cdot 7} = a^{28}b^{14}$

$(a^{29}b^7)^2 = (a^{29})^2 \cdot (b^7)^2 = a^{29 \cdot 2} \cdot b^{7 \cdot 2} = a^{58}b^{14}$

Теперь подставим упрощенные части обратно в выражение:

$a^{30} \cdot a^{28}b^{14} : a^{58}b^{14}$

Выполним умножение, используя правило умножения степеней с одинаковым основанием $x^m \cdot x^n = x^{m+n}$:

$a^{30+28}b^{14} : a^{58}b^{14} = a^{58}b^{14} : a^{58}b^{14}$

При делении выражения на само себя (при условии, что оно не равно нулю, то есть $a \neq 0$ и $b \neq 0$), результат равен 1. Или, используя правило деления степеней $x^m : x^n = x^{m-n}$:

$a^{58-58}b^{14-14} = a^0b^0 = 1 \cdot 1 = 1$

Таким образом, значение выражения действительно равно 1 при любых допустимых значениях переменных.

Ответ: 1.

2) Рассмотрим выражение $(a^4b^5)^3 \cdot (a^8b^9) : (a^{10}b^{12})^2$. Упростим его пошагово.

Раскроем скобки, применяя свойства степеней:

$(a^4b^5)^3 = (a^4)^3 \cdot (b^5)^3 = a^{4 \cdot 3}b^{5 \cdot 3} = a^{12}b^{15}$

$(a^{10}b^{12})^2 = (a^{10})^2 \cdot (b^{12})^2 = a^{10 \cdot 2}b^{12 \cdot 2} = a^{20}b^{24}$

Выражение принимает вид:

$a^{12}b^{15} \cdot a^8b^9 : a^{20}b^{24}$

Выполним умножение, сложив показатели степеней для одинаковых оснований:

$(a^{12} \cdot a^8) \cdot (b^{15} \cdot b^9) : a^{20}b^{24} = a^{12+8}b^{15+9} : a^{20}b^{24} = a^{20}b^{24} : a^{20}b^{24}$

Результат деления выражения на само себя равен 1 (при $a \neq 0$, $b \neq 0$). Это также можно показать, вычитая показатели:

$a^{20-20}b^{24-24} = a^0b^0 = 1 \cdot 1 = 1$

Следовательно, значение выражения равно 1.

Ответ: 1.

3) Докажем, что $(c^8)^6 \cdot (d^{18})^3 : (c^8d^9)^6 = 1$.

Упростим каждую часть выражения:

$(c^8)^6 = c^{8 \cdot 6} = c^{48}$

$(d^{18})^3 = d^{18 \cdot 3} = d^{54}$

$(c^8d^9)^6 = (c^8)^6 \cdot (d^9)^6 = c^{8 \cdot 6}d^{9 \cdot 6} = c^{48}d^{54}$

Подставим полученные значения в исходное выражение:

$c^{48} \cdot d^{54} : (c^{48}d^{54})$

Это можно записать в виде дроби:

$\frac{c^{48}d^{54}}{c^{48}d^{54}}$

Так как числитель и знаменатель равны (и не равны нулю, если $c \neq 0$, $d \neq 0$), их частное равно 1.

Ответ: 1.

4) Рассмотрим последнее выражение $(x^{11}y^2)^4 \cdot (y^5)^2 : (x^{22}y^9)^2$.

Применим свойства степеней для упрощения:

$(x^{11}y^2)^4 = (x^{11})^4 \cdot (y^2)^4 = x^{11 \cdot 4}y^{2 \cdot 4} = x^{44}y^8$

$(y^5)^2 = y^{5 \cdot 2} = y^{10}$

$(x^{22}y^9)^2 = (x^{22})^2 \cdot (y^9)^2 = x^{22 \cdot 2}y^{9 \cdot 2} = x^{44}y^{18}$

Подставим упрощенные части в выражение:

$x^{44}y^8 \cdot y^{10} : x^{44}y^{18}$

Сначала выполним умножение, сложив показатели степени у переменной $y$:

$x^{44}y^{8+10} : x^{44}y^{18} = x^{44}y^{18} : x^{44}y^{18}$

Полученное выражение представляет собой деление идентичных членов, что дает в результате 1 (при $x \neq 0$, $y \neq 0$).

Используя правило частного степеней:

$x^{44-44}y^{18-18} = x^0y^0 = 1 \cdot 1 = 1$

Доказано, что значение выражения равно 1.

Ответ: 1.