Номер 8.11, страница 60 - гдз по алгебре 7 класс учебник Абылкасымова, Кучер

8.11. Даны первые три члена числовой последовательности:

1) $(0,5)^{-1}; 4; (\frac{1}{2})^{-3}, ...$

2) $0,0016; \frac{1}{125}; 0,04; ...$

а) Представьте данные члены в виде степеней с одинаковыми основаниями и с натуральным показателем;

б) найдите закономерность и запишите следующие два члена последовательности.

1) а) Преобразуем каждый член последовательности, чтобы найти общее основание и показатель степени.

Первый член: $(0,5)^{-1} = (\frac{1}{2})^{-1} = 2^1$.

Второй член: $4 = 2^2$.

Третий член: $(\frac{1}{2})^{-3} = 2^3$.

Таким образом, все три члена можно представить как степени с основанием $2$ и натуральными показателями.

Ответ: $2^1; 2^2; 2^3$.

б) Закономерность данной последовательности заключается в том, что она представляет собой степени числа $2$. Показатель степени каждого следующего члена увеличивается на $1$. Общий член последовательности можно записать формулой $a_n = 2^n$.

Найдем следующие два члена последовательности:

Четвертый член: $a_4 = 2^4 = 16$.

Пятый член: $a_5 = 2^5 = 32$.

Ответ: $16; 32$.

2) а) Преобразуем все члены последовательности, чтобы найти общее основание. Для этого представим десятичные дроби в виде обыкновенных.

Первый член: $0,0016 = \frac{16}{10000} = \frac{1}{625} = \frac{1}{5^4} = (\frac{1}{5})^4$.

Второй член: $\frac{1}{125} = \frac{1}{5^3} = (\frac{1}{5})^3$.

Третий член: $0,04 = \frac{4}{100} = \frac{1}{25} = \frac{1}{5^2} = (\frac{1}{5})^2$.

Все члены представлены в виде степеней с основанием $\frac{1}{5}$ и натуральными показателями $4, 3, 2$.

Ответ: $(\frac{1}{5})^4; (\frac{1}{5})^3; (\frac{1}{5})^2$.

б) Данная последовательность является геометрической прогрессией. Закономерность состоит в том, что каждый следующий член получается умножением предыдущего на число $5$. В терминах степеней, полученных в пункте а), это означает, что показатель степени уменьшается на $1$ при переходе к следующему члену.

Найдем следующие два члена:

Четвертый член: $0,04 \times 5 = 0,2$. Это соответствует $(\frac{1}{5})^1$.

Пятый член: $0,2 \times 5 = 1$. Это соответствует $(\frac{1}{5})^0$.

Ответ: $0,2; 1$.