Номер 8.16, страница 60 - гдз по алгебре 7 класс учебник Абылкасымова, Кучер

8.16. Докажите, что значение выражения является положительным числом:

1) $21^0 - 3^{-2} - 4^{-2};$

2) $2^{-3} + 3^{-1} + (-4)^2;$

3) $9^{-1} - \frac{(-3)^2}{(-5^2)}.$

1) Чтобы доказать, что значение выражения $21^0 - 3^{-2} - 4^{-2}$ является положительным числом, необходимо вычислить его значение, следуя порядку действий и правилам работы со степенями.

Согласно свойствам степеней, любое ненулевое число в нулевой степени равно единице ($a^0 = 1$), а число в отрицательной степени равно обратной величине этого числа в положительной степени ($a^{-n} = \frac{1}{a^n}$).

Вычислим значение каждого члена выражения по отдельности:

$21^0 = 1$

$3^{-2} = \frac{1}{3^2} = \frac{1}{9}$

$4^{-2} = \frac{1}{4^2} = \frac{1}{16}$

Теперь подставим полученные значения обратно в выражение:

$1 - \frac{1}{9} - \frac{1}{16}$

Для вычитания дробей приведем их к общему знаменателю. Наименьшее общее кратное для 9 и 16 равно их произведению, так как у них нет общих делителей кроме 1: $9 \times 16 = 144$.

$\frac{144}{144} - \frac{1 \times 16}{9 \times 16} - \frac{1 \times 9}{16 \times 9} = \frac{144}{144} - \frac{16}{144} - \frac{9}{144}$

Выполним вычитание в числителе:

$\frac{144 - 16 - 9}{144} = \frac{128 - 9}{144} = \frac{119}{144}$

Результат $\frac{119}{144}$ является положительным числом, так как его числитель (119) и знаменатель (144) положительны.

Ответ: $\frac{119}{144}$.

2) Чтобы доказать, что значение выражения $2^{-3} + 3^{-1} + (-4)^2$ является положительным числом, вычислим значение каждого слагаемого.

$2^{-3} = \frac{1}{2^3} = \frac{1}{8}$

$3^{-1} = \frac{1}{3^1} = \frac{1}{3}$

$(-4)^2 = (-4) \times (-4) = 16$

Теперь сложим полученные значения:

$\frac{1}{8} + \frac{1}{3} + 16$

Все три слагаемых ($\frac{1}{8}$, $\frac{1}{3}$ и 16) являются положительными числами. Сумма положительных чисел всегда является положительным числом, что уже доказывает утверждение. Для нахождения точного значения выполним сложение:

Приведем дроби к общему знаменателю 24:

$\frac{3}{24} + \frac{8}{24} + 16 = \frac{11}{24} + 16 = 16\frac{11}{24}$

Значение выражения равно $16\frac{11}{24}$, что является положительным числом.

Ответ: $16\frac{11}{24}$.

3) Чтобы доказать, что значение выражения $9^{-1} - \frac{(-3)^2}{(-5^2)}$ является положительным числом, вычислим его значение.

Рассмотрим каждый компонент выражения:

$9^{-1} = \frac{1}{9}$

В числителе дроби: $(-3)^2 = 9$.

В знаменателе дроби: $(-5^2)$. Согласно порядку операций, сначала выполняется возведение в степень, а затем применяется знак минуса: $-5^2 = -(5^2) = -25$.

Подставим вычисленные значения в исходное выражение:

$\frac{1}{9} - \frac{9}{-25}$

Вычитание дроби с отрицательным знаменателем эквивалентно сложению дроби с положительным знаменателем:

$\frac{1}{9} - (-\frac{9}{25}) = \frac{1}{9} + \frac{9}{25}$

Оба слагаемых, $\frac{1}{9}$ и $\frac{9}{25}$, являются положительными числами. Их сумма также будет положительным числом. Найдем точное значение:

Приведем дроби к общему знаменателю $9 \times 25 = 225$.

$\frac{1 \times 25}{225} + \frac{9 \times 9}{225} = \frac{25}{225} + \frac{81}{225} = \frac{25 + 81}{225} = \frac{106}{225}$

Результат $\frac{106}{225}$ является положительным числом.

Ответ: $\frac{106}{225}$.