Номер 8.22, страница 61 - гдз по алгебре 7 класс учебник Абылкасымова, Кучер

Верны ли равенства (8.22-8.23):

8.22.

1) $\frac{(2^4)^6 \cdot 4^5}{16^3 \cdot 8^7} = 2;$

2) $\frac{(17^8)^2 \cdot (17^3)^3 \cdot 16^5}{17^{22} \cdot 289 \cdot 8^6} = 68? $

1) Проверим, верно ли равенство $\frac{(2^4)^6 \cdot 4^5}{16^3 \cdot 8^7} = 2$.

Для этого упростим левую часть выражения, приведя все числа к основанию 2. Мы знаем, что $4 = 2^2$, $16 = 2^4$ и $8 = 2^3$.

Подставим эти значения в выражение:

$\frac{(2^4)^6 \cdot (2^2)^5}{(2^4)^3 \cdot (2^3)^7}$

Используем свойство степеней $(a^m)^n = a^{m \cdot n}$ для числителя и знаменателя:

$\frac{2^{4 \cdot 6} \cdot 2^{2 \cdot 5}}{2^{4 \cdot 3} \cdot 2^{3 \cdot 7}} = \frac{2^{24} \cdot 2^{10}}{2^{12} \cdot 2^{21}}$

Далее, используем свойство умножения степеней с одинаковым основанием $a^m \cdot a^n = a^{m+n}$:

$\frac{2^{24+10}}{2^{12+21}} = \frac{2^{34}}{2^{33}}$

Наконец, используем свойство деления степеней с одинаковым основанием $\frac{a^m}{a^n} = a^{m-n}$:

$2^{34-33} = 2^1 = 2$

В результате упрощения левая часть равенства оказалась равной 2, что совпадает с правой частью. Следовательно, равенство верно.

Ответ: да, равенство верно.

2) Проверим, верно ли равенство $\frac{(17^8)^2 \cdot (17^3)^3 \cdot 16^5}{17^{22} \cdot 289 \cdot 8^6} = 68$.

Упростим левую часть выражения. Для этого представим числа $289$, $16$ и $8$ в виде степеней простых чисел: $289 = 17^2$, $16 = 2^4$, $8 = 2^3$.

Подставим эти значения в исходное выражение:

$\frac{(17^8)^2 \cdot (17^3)^3 \cdot (2^4)^5}{17^{22} \cdot 17^2 \cdot (2^3)^6}$

Применим свойство возведения степени в степень $(a^m)^n = a^{m \cdot n}$:

$\frac{17^{8 \cdot 2} \cdot 17^{3 \cdot 3} \cdot 2^{4 \cdot 5}}{17^{22} \cdot 17^2 \cdot 2^{3 \cdot 6}} = \frac{17^{16} \cdot 17^9 \cdot 2^{20}}{17^{22} \cdot 17^2 \cdot 2^{18}}$

Применим свойство умножения степеней с одинаковым основанием $a^m \cdot a^n = a^{m+n}$:

$\frac{17^{16+9} \cdot 2^{20}}{17^{22+2} \cdot 2^{18}} = \frac{17^{25} \cdot 2^{20}}{17^{24} \cdot 2^{18}}$

Теперь сгруппируем степени с одинаковыми основаниями и применим свойство деления степеней $\frac{a^m}{a^n} = a^{m-n}$:

$(\frac{17^{25}}{17^{24}}) \cdot (\frac{2^{20}}{2^{18}}) = 17^{25-24} \cdot 2^{20-18} = 17^1 \cdot 2^2$

Вычислим полученное значение:

$17 \cdot 4 = 68$

Левая часть равенства равна 68, что совпадает с правой частью. Следовательно, равенство верно.

Ответ: да, равенство верно.