Номер 8.20, страница 61 - гдз по алгебре 7 класс учебник Абылкасымова, Кучер

8.20. Какой цифрой оканчивается значение выражения:

1) $4^{13} + 5^{10} - 2^{16};$

2) $7^{11} + 15^{10} - 3^{13};$

3) $2^{23} + 6^{19} - 9^{18};$

4) $8^{15} + 7^{10} - 9^{16}?$

Чтобы определить, какой цифрой оканчивается значение выражения, необходимо найти последнюю цифру каждого из его компонентов (слагаемых, вычитаемых) и выполнить с этими цифрами соответствующие арифметические действия. Последняя цифра степени числа зависит только от последней цифры основания и повторяется с определенным циклом.

Найдем последнюю цифру для каждого члена выражения. Для $4^{13}$: последние цифры степеней числа 4 образуют цикл $4, 6, 4, 6, \dots$. Для нечетных показателей степени (как 13) последняя цифра равна 4. Для $5^{10}$: любая натуральная степень числа, оканчивающегося на 5, также оканчивается на 5. Для $2^{16}$: последние цифры степеней числа 2 образуют цикл $2, 4, 8, 6$ длиной 4. Показатель степени 16 делится на 4 нацело ($16 \div 4 = 4$), поэтому последняя цифра будет такой же, как у $2^4$, то есть 6.

Теперь выполним действия с последними цифрами. Последняя цифра искомого значения совпадает с последней цифрой выражения $4 + 5 - 6$. $4 + 5 = 9$. $9 - 6 = 3$.

Ответ: 3

Найдем последнюю цифру для каждого члена выражения. Для $7^{11}$: последние цифры степеней числа 7 образуют цикл $7, 9, 3, 1$ длиной 4. При делении 11 на 4 получаем остаток 3 ($11 = 4 \cdot 2 + 3$). Значит, последняя цифра будет третьей в цикле, то есть 3. Для $15^{10}$: основание 15 оканчивается на 5, поэтому любая его натуральная степень будет оканчиваться на 5. Для $3^{13}$: последние цифры степеней числа 3 образуют цикл $3, 9, 7, 1$ длиной 4. При делении 13 на 4 получаем остаток 1 ($13 = 4 \cdot 3 + 1$). Значит, последняя цифра будет первой в цикле, то есть 3.

Теперь выполним действия с последними цифрами: $3 + 5 - 3$. $3 + 5 = 8$. $8 - 3 = 5$.

Ответ: 5

Найдем последнюю цифру для каждого члена выражения. Для $2^{23}$: цикл последних цифр для степеней числа 2 — $2, 4, 8, 6$. При делении 23 на 4 получаем остаток 3 ($23 = 4 \cdot 5 + 3$). Последняя цифра будет третьей в цикле, то есть 8. Для $6^{19}$: любая натуральная степень числа 6 оканчивается на 6. Для $9^{18}$: последние цифры степеней числа 9 образуют цикл $9, 1$. Для четных показателей степени, как 18, последняя цифра — 1.

Теперь выполним действия с последними цифрами: $8 + 6 - 1$. Сумма $8+6=14$ оканчивается на 4. Разность $...4 - 1$ оканчивается на 3.

Ответ: 3

Найдем последнюю цифру для каждого члена выражения. Для $8^{15}$: последние цифры степеней числа 8 образуют цикл $8, 4, 2, 6$ длиной 4. При делении 15 на 4 получаем остаток 3 ($15 = 4 \cdot 3 + 3$). Последняя цифра будет третьей в цикле, то есть 2. Для $7^{10}$: цикл последних цифр для степеней числа 7 — $7, 9, 3, 1$. При делении 10 на 4 получаем остаток 2 ($10 = 4 \cdot 2 + 2$). Последняя цифра будет второй в цикле, то есть 9. Для $9^{16}$: цикл последних цифр для степеней числа 9 — $9, 1$. Для четного показателя степени 16 последняя цифра — 1.

Теперь выполним действия с последними цифрами: $2 + 9 - 1$. Сумма $2+9=11$ оканчивается на 1. Разность $...1 - 1$ оканчивается на 0.

Ответ: 0