Номер 8.26, страница 62 - гдз по алгебре 7 класс учебник Абылкасымова, Кучер

8.26. Верно ли, что натуральным числом является значение выражения:

1) $\frac{(3^3 \cdot x)^2}{(x^2)^3 \cdot b^2}$ при $x = 0,5$ и $b = \frac{1}{3}$;

2) $\frac{(a^3 \cdot x^4)^2}{(a^2)^2 \cdot x^7}$ при $a = 0,1$ и $x = 2$?

1) Сначала упростим данное выражение, используя свойства степеней: $(a \cdot b)^n = a^n \cdot b^n$, $(a^m)^n = a^{m \cdot n}$ и $\frac{a^m}{a^n} = a^{m-n}$.

$ \frac{(3^3 \cdot x)^2}{(x^2)^3 \cdot b^2} = \frac{(3^3)^2 \cdot x^2}{x^{2 \cdot 3} \cdot b^2} = \frac{3^6 \cdot x^2}{x^6 \cdot b^2} = \frac{3^6}{x^{6-2} \cdot b^2} = \frac{3^6}{x^4 \cdot b^2} $.

Теперь подставим в упрощенное выражение значения $ x = 0,5 $ и $ b = \frac{1}{3} $. Представим десятичную дробь $ 0,5 $ в виде обыкновенной дроби $ \frac{1}{2} $.

$ \frac{3^6}{(\frac{1}{2})^4 \cdot (\frac{1}{3})^2} = \frac{3^6}{\frac{1^4}{2^4} \cdot \frac{1^2}{3^2}} = \frac{3^6}{\frac{1}{16} \cdot \frac{1}{9}} = \frac{3^6}{\frac{1}{144}} = 3^6 \cdot 144 $.

Вычислим значение полученного выражения:

$ 3^6 \cdot 144 = 729 \cdot 144 = 104976 $.

Число 104976 является целым и положительным, следовательно, оно является натуральным числом.

Ответ: да, верно.

2) Упростим выражение, используя те же свойства степеней:

$ \frac{(a^3 \cdot x^4)^2}{(a^2)^2 \cdot x^7} = \frac{(a^3)^2 \cdot (x^4)^2}{a^{2 \cdot 2} \cdot x^7} = \frac{a^{3 \cdot 2} \cdot x^{4 \cdot 2}}{a^4 \cdot x^7} = \frac{a^6 \cdot x^8}{a^4 \cdot x^7} $.

Сократим дробь, вычитая показатели степеней с одинаковыми основаниями:

$ a^{6-4} \cdot x^{8-7} = a^2 \cdot x^1 = a^2x $.

Подставим в полученное выражение значения $ a = 0,1 $ и $ x = 2 $:

$ (0,1)^2 \cdot 2 = 0,01 \cdot 2 = 0,02 $.

Натуральные числа — это целые положительные числа, используемые при счете (1, 2, 3, ...). Число 0,02 не является целым, а значит и не является натуральным числом.

Ответ: нет, неверно.