Вопрос критерии успеха, страница 63 - гдз по алгебре 7 класс учебник Абылкасымова, Кучер

Что такое стандартный вид числа и для чего надо записывать числа в стандартном виде?

Что такое стандартный вид числа?

Стандартный вид числа, также известный как научная нотация, — это способ представления чисел, особенно очень больших или очень маленьких, в компактной форме. Число в стандартном виде записывается как произведение двух множителей.

Формула стандартного вида числа:

$a \cdot 10^n$

где:

• $a$ — это мантисса числа. Она должна удовлетворять условию $1 \le a < 10$. То есть, это число, которое больше или равно 1, но строго меньше 10.
• $n$ — это порядок числа. Это целое число ($n \in \mathbb{Z}$), которое может быть положительным, отрицательным или равным нулю.

Как привести число к стандартному виду?

1. Для числа, большего или равного 10, запятую переносят влево до тех пор, пока слева от нее не останется только одна ненулевая цифра. Количество позиций, на которое была сдвинута запятая, будет положительным значением порядка $n$.

Пример: Число 45 600 000.

Переносим запятую (которая находится в конце числа) на 7 позиций влево: 4.5600000.

Получаем мантиссу $a = 4.56$ и порядок $n = 7$.

Стандартный вид: $4.56 \cdot 10^7$.

2. Для положительного числа, меньшего 1, запятую переносят вправо до тех пор, пока она не окажется сразу после первой ненулевой цифры. Количество позиций, на которое была сдвинута запятая, будет отрицательным значением порядка $n$ (берется со знаком минус).

Пример: Число 0.0000812.

Переносим запятую на 5 позиций вправо, чтобы получить 8.12.

Получаем мантиссу $a = 8.12$ и порядок $n = -5$.

Стандартный вид: $8.12 \cdot 10^{-5}$.

Ответ: Стандартный вид числа — это его запись в виде произведения $a \cdot 10^n$, где $1 \le a < 10$, а $n$ — целое число.

Для чего надо записывать числа в стандартном виде?

Запись чисел в стандартном виде имеет несколько важных преимуществ, особенно в науке, технике и математике.

1. Компактность и удобство чтения. Очень большие и очень маленькие числа занимают много места и их трудно читать. Например, масса Земли составляет примерно 5 972 000 000 000 000 000 000 000 кг. В стандартном виде это записывается гораздо короче: $5.972 \cdot 10^{24}$ кг. Это позволяет избежать ошибок при написании и счете нулей.
2. Упрощение сравнения чисел. Чтобы сравнить два числа в стандартном виде, достаточно сначала сравнить их порядки ($n$). Число с большим порядком будет больше. Если порядки равны, сравнивают мантиссы ($a$).

   Пример: Сравним $7.5 \cdot 10^{15}$ и $1.2 \cdot 10^{16}$. Так как $16 > 15$, второе число больше.

3. Удобство выполнения вычислений. Арифметические операции с числами в стандартном виде выполняются по правилам действий со степенями, что значительно упрощает расчеты.
   • Умножение: $(a \cdot 10^n) \cdot (b \cdot 10^m) = (a \cdot b) \cdot 10^{n+m}$

     Пример: $(2 \cdot 10^5) \cdot (3 \cdot 10^3) = (2 \cdot 3) \cdot 10^{5+3} = 6 \cdot 10^8$.

   • Деление: $(a \cdot 10^n) / (b \cdot 10^m) = (a / b) \cdot 10^{n-m}$

     Пример: $(8 \cdot 10^9) / (4 \cdot 10^2) = (8 / 4) \cdot 10^{9-2} = 2 \cdot 10^7$.

4. Определение точности (значащие цифры). Стандартный вид четко показывает количество значащих цифр числа, которые содержатся в мантиссе. Например, запись $5.40 \cdot 10^6$ указывает на три значащие цифры, подразумевая, что число известно с точностью до десятков тысяч, в то время как запись $5.4 \cdot 10^6$ указывает только на две значащие цифры.

Ответ: Числа записывают в стандартном виде для компактного и наглядного представления очень больших и очень маленьких величин, для упрощения их сравнения и выполнения над ними арифметических операций, а также для указания точности измерений.