Номер 8.24, страница 61 - гдз по алгебре 7 класс учебник Абылкасымова, Кучер

8.24. Докажите, что при a = 1, b = 1 значения выражений равны:

1) $(a^5 \cdot b^6)^7 : (a^{33} \cdot b^{40}) + 1$ и $(a^8b^2)^2 : (a^5b)^3 + 3$;

2) $\frac{(a^4)^3 \cdot (b^{10})^2}{a^8 \cdot (b^5)^3} - 4$ и $\frac{(a^7)^4 \cdot (b^9)^2}{(a^5)^5 \cdot b^{16}} - 6$.

Чтобы доказать, что значения выражений равны, сначала упростим их, а затем подставим заданные значения переменных $a$ и $b$.

1) Рассмотрим пару выражений: $(a^5 \cdot b^6)^7 : (a^{33} \cdot b^{40}) + 1$ и $(a^8b^2)^2 : (a^5b)^3 + 3$.

Сначала упростим первое выражение, используя свойства степеней $(x^m)^n = x^{mn}$, $(xy)^n = x^n y^n$ и $x^m : x^n = x^{m-n}$:

$(a^5 \cdot b^6)^7 : (a^{33} \cdot b^{40}) + 1 = (a^{5 \cdot 7} \cdot b^{6 \cdot 7}) : (a^{33}b^{40}) + 1 = (a^{35}b^{42}) : (a^{33}b^{40}) + 1 = a^{35-33}b^{42-40} + 1 = a^2b^2 + 1$.

Теперь упростим второе выражение:

$(a^8b^2)^2 : (a^5b)^3 + 3 = (a^{8 \cdot 2}b^{2 \cdot 2}) : (a^{5 \cdot 3}b^{1 \cdot 3}) + 3 = (a^{16}b^4) : (a^{15}b^3) + 3 = a^{16-15}b^{4-3} + 3 = ab + 3$.

В условии указано доказать равенство при $a=1$ и $b=1$. Подставим эти значения в упрощенные выражения:

Значение первого выражения: $a^2b^2 + 1 = 1^2 \cdot 1^2 + 1 = 1 \cdot 1 + 1 = 2$.

Значение второго выражения: $ab + 3 = 1 \cdot 1 + 3 = 1 + 3 = 4$.

Поскольку $2 \ne 4$, утверждение в задаче при $a=1, b=1$ является неверным. Вероятно, в условии допущена опечатка, и имелось в виду $b=-1$. Проверим равенство для $a=1, b=-1$.

Подставляем $a=1, b=-1$ в $a^2b^2 + 1$: $1^2 \cdot (-1)^2 + 1 = 1 \cdot 1 + 1 = 2$.

Подставляем $a=1, b=-1$ в $ab + 3$: $1 \cdot (-1) + 3 = -1 + 3 = 2$.

При $a=1$ и $b=-1$ значения выражений действительно равны.

Ответ: При указанных в условии $a=1, b=1$ значения выражений не равны (они равны 2 и 4 соответственно). Равенство выполняется при $a=1, b=-1$, и в этом случае оба выражения равны 2.

2) Рассмотрим пару выражений: $\frac{(a^4)^3 \cdot (b^{10})^2}{a^8 \cdot (b^5)^3} - 4$ и $\frac{(a^7)^4 \cdot (b^9)^2}{(a^5)^5 \cdot b^{16}} - 6$.

Упростим первое выражение:

$\frac{(a^4)^3 \cdot (b^{10})^2}{a^8 \cdot (b^5)^3} - 4 = \frac{a^{4 \cdot 3} \cdot b^{10 \cdot 2}}{a^8 \cdot b^{5 \cdot 3}} - 4 = \frac{a^{12}b^{20}}{a^8b^{15}} - 4 = a^{12-8}b^{20-15} - 4 = a^4b^5 - 4$.

Упростим второе выражение:

$\frac{(a^7)^4 \cdot (b^9)^2}{(a^5)^5 \cdot b^{16}} - 6 = \frac{a^{7 \cdot 4} \cdot b^{9 \cdot 2}}{a^{5 \cdot 5} \cdot b^{16}} - 6 = \frac{a^{28}b^{18}}{a^{25}b^{16}} - 6 = a^{28-25}b^{18-16} - 6 = a^3b^2 - 6$.

Теперь подставим значения $a=1$ и $b=1$ из условия.

Значение первого выражения: $a^4b^5 - 4 = 1^4 \cdot 1^5 - 4 = 1 - 4 = -3$.

Значение второго выражения: $a^3b^2 - 6 = 1^3 \cdot 1^2 - 6 = 1 - 6 = -5$.

Поскольку $-3 \ne -5$, утверждение в задаче при $a=1, b=1$ также неверно. Проверим это для $a=1, b=-1$, как и в предыдущем пункте.

Подставляем $a=1, b=-1$ в $a^4b^5 - 4$: $1^4 \cdot (-1)^5 - 4 = 1 \cdot (-1) - 4 = -1 - 4 = -5$.

Подставляем $a=1, b=-1$ в $a^3b^2 - 6$: $1^3 \cdot (-1)^2 - 6 = 1 \cdot 1 - 6 = 1 - 6 = -5$.

При $a=1$ и $b=-1$ значения этих выражений также равны.

Ответ: При указанных в условии $a=1, b=1$ значения выражений не равны (они равны -3 и -5 соответственно). Равенство выполняется при $a=1, b=-1$, и в этом случае оба выражения равны -5.