Номер 8.21, страница 61 - гдз по алгебре 7 класс учебник Абылкасымова, Кучер

8.21. Найдите значение выражения:

1) $\frac{\left(\frac{1}{9}\right)^{-3} \cdot \frac{1}{9}}{3^{3}};$

2) $45 \cdot \frac{5^{-2}}{9^{2}};$

3) $\frac{34^{3}}{17^{2} \cdot 2^{4}} \cdot 8^{2}.$

1) Для решения данного выражения $ \frac{(\frac{1}{9})^{-3} \cdot \frac{1}{9}}{3^3} $ воспользуемся свойствами степеней. Сначала преобразуем числитель. Используем свойство степени с отрицательным показателем $ (\frac{a}{b})^{-n} = (\frac{b}{a})^n $: $ (\frac{1}{9})^{-3} = (\frac{9}{1})^3 = 9^3 $. Теперь числитель имеет вид $ 9^3 \cdot \frac{1}{9} $. Представим $ \frac{1}{9} $ как $ 9^{-1} $ и воспользуемся свойством умножения степеней с одинаковым основанием $ a^m \cdot a^n = a^{m+n} $: $ 9^3 \cdot 9^{-1} = 9^{3-1} = 9^2 $. Выражение принимает вид $ \frac{9^2}{3^3} $. Чтобы упростить дробь, приведем степени к одному основанию. Так как $ 9 = 3^2 $, то $ 9^2 = (3^2)^2 = 3^4 $. Подставим это в дробь: $ \frac{3^4}{3^3} $. Используя свойство деления степеней $ \frac{a^m}{a^n} = a^{m-n} $, получаем: $ 3^{4-3} = 3^1 = 3 $. Ответ: 3

2) Рассмотрим выражение $ 45 \cdot \frac{5^{-2}}{9^2} $. Представим число 45 как произведение $ 5 \cdot 9 $. Тогда выражение можно переписать в виде: $ (5 \cdot 9) \cdot \frac{5^{-2}}{9^2} $. Сгруппируем множители с одинаковыми основаниями: $ (5^1 \cdot 5^{-2}) \cdot (9^1 \cdot \frac{1}{9^2}) $. Упростим каждую группу. Для первой, используя свойство $ a^m \cdot a^n = a^{m+n} $, получаем: $ 5^1 \cdot 5^{-2} = 5^{1-2} = 5^{-1} $. Для второй группы: $ 9 \cdot \frac{1}{9^2} = \frac{9}{9^2} = 9^{1-2} = 9^{-1} $. В результате получаем произведение $ 5^{-1} \cdot 9^{-1} $. Используя свойство $ a^n \cdot b^n = (ab)^n $, имеем: $ (5 \cdot 9)^{-1} = 45^{-1} $. По определению степени с отрицательным показателем $ a^{-n} = \frac{1}{a^n} $, результат равен $ \frac{1}{45} $. Ответ: $ \frac{1}{45} $

3) Рассмотрим выражение $ \frac{34^3}{17^2 \cdot 2^4} \cdot 8^2 $. Запишем его в виде одной дроби: $ \frac{34^3 \cdot 8^2}{17^2 \cdot 2^4} $. Разложим основания степеней на простые множители: $ 34 = 2 \cdot 17 $ и $ 8 = 2^3 $. Подставим эти разложения в выражение. Преобразуем числитель: $ 34^3 = (2 \cdot 17)^3 = 2^3 \cdot 17^3 $. $ 8^2 = (2^3)^2 = 2^6 $. Таким образом, числитель равен $ (2^3 \cdot 17^3) \cdot 2^6 = 2^{3+6} \cdot 17^3 = 2^9 \cdot 17^3 $. Теперь все выражение выглядит так: $ \frac{2^9 \cdot 17^3}{17^2 \cdot 2^4} $. Сгруппируем степени с одинаковыми основаниями и применим свойство деления степеней $ \frac{a^m}{a^n} = a^{m-n} $: $ \frac{2^9}{2^4} \cdot \frac{17^3}{17^2} = 2^{9-4} \cdot 17^{3-2} = 2^5 \cdot 17^1 $. Вычислим полученное значение: $ 2^5 \cdot 17 = 32 \cdot 17 = 544 $. Ответ: 544