Номер 8.23, страница 61 - гдз по алгебре 7 класс учебник Абылкасымова, Кучер

Верны ли равенства (8.22-8.23):

8.23.

1) $\frac{(a^5)^6 \cdot (b^9)^4 \cdot (a^2 b^2)^3}{(b^4)^{10} \cdot (a^7)^5} = ab^2;$

2) $\frac{(c^8 d^5)^{11} \cdot (c^7)^3 \cdot (d^4)^2}{(d^{31})^2 \cdot (c^{25})^4} = c^9 d?$

1) Чтобы проверить верность равенства, упростим его левую часть, используя свойства степеней.

Исходное равенство: $\frac{(a^5)^6 \cdot (b^9)^4 \cdot (a^2b^2)^3}{(b^4)^{10} \cdot (a^7)^5} = ab^2$.

1. Упростим числитель. Применим правило возведения степени в степень $(x^m)^n = x^{mn}$ и правило возведения произведения в степень $(xy)^n = x^n y^n$:

$(a^5)^6 = a^{5 \cdot 6} = a^{30}$

$(b^9)^4 = b^{9 \cdot 4} = b^{36}$

$(a^2b^2)^3 = (a^2)^3 \cdot (b^2)^3 = a^{2 \cdot 3} \cdot b^{2 \cdot 3} = a^6b^6$

Теперь перемножим полученные выражения в числителе, используя правило умножения степеней с одинаковым основанием $x^m \cdot x^n = x^{m+n}$:

$(a^5)^6 \cdot (b^9)^4 \cdot (a^2b^2)^3 = a^{30} \cdot b^{36} \cdot a^6b^6 = (a^{30} \cdot a^6) \cdot (b^{36} \cdot b^6) = a^{30+6} \cdot b^{36+6} = a^{36}b^{42}$.

2. Упростим знаменатель, используя правило возведения степени в степень $(x^m)^n = x^{mn}$:

$(b^4)^{10} = b^{4 \cdot 10} = b^{40}$

$(a^7)^5 = a^{7 \cdot 5} = a^{35}$

Знаменатель равен $(b^4)^{10} \cdot (a^7)^5 = b^{40} \cdot a^{35}$.

3. Разделим числитель на знаменатель, используя правило деления степеней с одинаковым основанием $\frac{x^m}{x^n} = x^{m-n}$:

$\frac{a^{36}b^{42}}{a^{35}b^{40}} = \frac{a^{36}}{a^{35}} \cdot \frac{b^{42}}{b^{40}} = a^{36-35} \cdot b^{42-40} = a^1 \cdot b^2 = ab^2$.

Левая часть равенства равна $ab^2$, что совпадает с правой частью. Следовательно, равенство верно.

Ответ: да, равенство верно.

2) Проверим верность второго равенства, упростив его левую часть.

Исходное равенство: $\frac{(c^8 \cdot d^5)^{11} \cdot (c^7)^3 \cdot (d^4)^2}{(d^{31})^2 \cdot (c^{25})^4} = c^9d$.

1. Упростим числитель, используя правила $(xy)^n = x^n y^n$ и $(x^m)^n = x^{mn}$:

$(c^8 \cdot d^5)^{11} = (c^8)^{11} \cdot (d^5)^{11} = c^{8 \cdot 11} \cdot d^{5 \cdot 11} = c^{88}d^{55}$

$(c^7)^3 = c^{7 \cdot 3} = c^{21}$

$(d^4)^2 = d^{4 \cdot 2} = d^8$

Теперь перемножим полученные выражения в числителе, используя правило $x^m \cdot x^n = x^{m+n}$:

$c^{88}d^{55} \cdot c^{21} \cdot d^8 = (c^{88} \cdot c^{21}) \cdot (d^{55} \cdot d^8) = c^{88+21} \cdot d^{55+8} = c^{109}d^{63}$.

2. Упростим знаменатель, используя правило $(x^m)^n = x^{mn}$:

$(d^{31})^2 = d^{31 \cdot 2} = d^{62}$

$(c^{25})^4 = c^{25 \cdot 4} = c^{100}$

Знаменатель равен $(d^{31})^2 \cdot (c^{25})^4 = d^{62} \cdot c^{100}$.

3. Разделим числитель на знаменатель, используя правило $\frac{x^m}{x^n} = x^{m-n}$:

$\frac{c^{109}d^{63}}{c^{100}d^{62}} = \frac{c^{109}}{c^{100}} \cdot \frac{d^{63}}{d^{62}} = c^{109-100} \cdot d^{63-62} = c^9 \cdot d^1 = c^9d$.

Левая часть равенства равна $c^9d$, что совпадает с правой частью. Следовательно, равенство верно.

Ответ: да, равенство верно.