Номер 8.19, страница 61 - гдз по алгебре 7 класс учебник Абылкасымова, Кучер

8.19. Дана числовая последовательность $2^1, 4^2, 8^3, 16^4, 32^5, \dots$:

1) Найдите закономерность числовой последовательности и запишите следующий член последовательности;

2) Запишите данную последовательность в виде числовой последовательности, члены которой являются степенью числа 2.

1) Дана числовая последовательность: $2^1, 4^2, 8^3, 16^4, 32^5, \dots$

Чтобы найти закономерность, проанализируем каждый член последовательности. Обозначим n-й член последовательности как $a_n$.

$a_1 = 2^1$

$a_2 = 4^2$

$a_3 = 8^3$

$a_4 = 16^4$

$a_5 = 32^5$

Можно заметить, что показатель степени каждого n-го члена равен его порядковому номеру $n$.

Теперь рассмотрим основания степеней: $2, 4, 8, 16, 32, \dots$. Эта последовательность состоит из степеней числа 2:

$2 = 2^1$

$4 = 2^2$

$8 = 2^3$

$16 = 2^4$

$32 = 2^5$

Основание n-го члена равно $2^n$.

Таким образом, общая формула для n-го члена последовательности имеет вид $a_n = (2^n)^n$.

Для нахождения следующего члена последовательности, который является шестым по счету ($n=6$), подставим 6 в полученную формулу:

$a_6 = (2^6)^6$

Вычисляем основание: $2^6 = 64$.

Следовательно, шестой член последовательности равен $64^6$.

Ответ: Закономерность заключается в том, что n-й член последовательности можно записать формулой $a_n = (2^n)^n$. Следующий член последовательности: $64^6$.

2) Чтобы записать данную последовательность в виде последовательности, члены которой являются степенью числа 2, воспользуемся общей формулой, найденной в предыдущем пункте: $a_n = (2^n)^n$.

Применим свойство степеней $(x^a)^b = x^{a \cdot b}$:

$a_n = (2^n)^n = 2^{n \cdot n} = 2^{n^2}$

Теперь, используя эту формулу, запишем первые пять членов исходной последовательности в новом виде:

$a_1 = 2^{1^2} = 2^1$

$a_2 = 2^{2^2} = 2^4$

$a_3 = 2^{3^2} = 2^9$

$a_4 = 2^{4^2} = 2^{16}$

$a_5 = 2^{5^2} = 2^{25}$

Таким образом, искомая последовательность имеет вид $2^1, 2^4, 2^9, 2^{16}, 2^{25}, \dots$.

Ответ: $2^1, 2^4, 2^9, 2^{16}, 2^{25}, \dots$