Номер 8.15, страница 60 - гдз по алгебре 7 класс учебник Абылкасымова, Кучер

8.15. Докажите, что отрицательным числом является значение выражения:

1) $\frac{(-3)^3 \cdot 9^{-2}}{(-81)^2}$;

2) $\frac{(-4)^4 \cdot 9^{-2}}{-11^2}$;

3) $\frac{(-3)^3 \cdot (-9^{-2})}{-8^2}$.

1) Чтобы доказать, что значение выражения $\frac{(-3)^3 \cdot 9^{-2}}{(-81)^2}$ является отрицательным числом, определим знак числителя и знаменателя дроби.

1. Числитель: $(-3)^3 \cdot 9^{-2}$.

Первый множитель $(-3)^3$ является отрицательным числом, так как любое отрицательное число, возведенное в нечетную степень, остается отрицательным: $(-3)^3 = -27$.

Второй множитель $9^{-2}$ является положительным числом, так как $9 > 0$, а степень положительного числа всегда положительна: $9^{-2} = \frac{1}{9^2} = \frac{1}{81}$.

Произведение отрицательного числа $(-27)$ и положительного числа $(\frac{1}{81})$ есть число отрицательное. Следовательно, числитель дроби отрицателен.

2. Знаменатель: $(-81)^2$.

Знаменатель является положительным числом, так как любое ненулевое число, возведенное в четную степень, положительно: $(-81)^2 = 81^2 > 0$.

3. Вывод:

Поскольку числитель дроби отрицателен, а знаменатель положителен, частное от их деления будет отрицательным числом. Таким образом, значение всего выражения является отрицательным.

Проведем вычисления для подтверждения: $\frac{(-3)^3 \cdot 9^{-2}}{(-81)^2} = \frac{-3^3 \cdot (3^2)^{-2}}{(-(3^4))^2} = \frac{-3^3 \cdot 3^{-4}}{(3^4)^2} = \frac{-3^{3-4}}{3^8} = \frac{-3^{-1}}{3^8} = -3^{-1-8} = -3^{-9} = -\frac{1}{3^9}$.

Результат $-\frac{1}{19683}$ — отрицательное число.

Ответ: значение выражения отрицательно.

2) Чтобы доказать, что значение выражения $\frac{(-4)^4 \cdot 9^{-2}}{-11^2}$ является отрицательным числом, определим знак числителя и знаменателя дроби.

1. Числитель: $(-4)^4 \cdot 9^{-2}$.

Первый множитель $(-4)^4$ является положительным числом, так как отрицательное число, возведенное в четную степень, становится положительным: $(-4)^4 = 4^4 = 256$.

Второй множитель $9^{-2}$ является положительным числом: $9^{-2} = \frac{1}{9^2} > 0$.

Произведение двух положительных чисел является положительным числом. Следовательно, числитель дроби положителен.

2. Знаменатель: $-11^2$.

В данном выражении операция возведения в степень имеет более высокий приоритет, чем унарный минус. Поэтому сначала вычисляется $11^2$, а затем к результату применяется знак минус: $-11^2 = -(11 \cdot 11) = -121$. Знаменатель отрицателен.

3. Вывод:

Поскольку числитель дроби положителен, а знаменатель отрицателен, частное от их деления будет отрицательным числом. Таким образом, значение всего выражения является отрицательным.

Проведем вычисления для подтверждения: $\frac{(-4)^4 \cdot 9^{-2}}{-11^2} = \frac{256 \cdot \frac{1}{81}}{-121} = \frac{\frac{256}{81}}{-121} = -\frac{256}{81 \cdot 121} = -\frac{256}{9801}$.

Результат — отрицательное число.

Ответ: значение выражения отрицательно.

3) Чтобы доказать, что значение выражения $\frac{(-3)^3 \cdot (-9^{-2})}{-8^2}$ является отрицательным числом, определим знак числителя и знаменателя дроби.

1. Числитель: $(-3)^3 \cdot (-9^{-2})$.

Первый множитель $(-3)^3$ является отрицательным числом (отрицательное число в нечетной степени): $(-3)^3 = -27$.

Второй множитель $(-9^{-2})$. Сначала вычисляется степень $9^{-2} = \frac{1}{81}$, а затем применяется знак минус, стоящий в скобках. Таким образом, множитель равен $-\frac{1}{81}$ и является отрицательным.

Произведение двух отрицательных чисел $(-27)$ и $(-\frac{1}{81})$ есть число положительное. Следовательно, числитель дроби положителен.

2. Знаменатель: $-8^2$.

Как и в предыдущем пункте, сначала выполняется возведение в степень, а затем применяется знак минус: $-8^2 = -(8^2) = -64$. Знаменатель отрицателен.

3. Вывод:

Поскольку числитель дроби положителен, а знаменатель отрицателен, частное от их деления будет отрицательным числом. Таким образом, значение всего выражения является отрицательным.

Проведем вычисления для подтверждения: $\frac{(-3)^3 \cdot (-9^{-2})}{-8^2} = \frac{(-27) \cdot (-\frac{1}{9^2})}{-64} = \frac{27 \cdot \frac{1}{81}}{-64} = \frac{\frac{27}{81}}{-64} = \frac{\frac{1}{3}}{-64} = -\frac{1}{3 \cdot 64} = -\frac{1}{192}$.

Результат — отрицательное число.

Ответ: значение выражения отрицательно.