Номер 8.8, страница 59 - гдз по алгебре 7 класс учебник Абылкасымова, Кучер

8.8. Докажите, что значение выражения не зависит от значения переменной:

1) $ ((n^3)^2)^4 : (n^7)^2 - 5 - n^{10}; $

2) $ m^{30} : ((m^3)^2)^3 + 17 - (m^6)^2; $

3) $ ((a^2)^2)^2 \cdot a^4 + 19 - (a^4)^3; $

4) $ -23 - b^{40} + ((b^5)^4)^2. $

1) Для доказательства упростим выражение, используя свойства степеней: при возведении степени в степень показатели перемножаются $ ((a^m)^n = a^{m \cdot n}) $, а при делении степеней с одинаковым основанием показатели вычитаются $ (a^m : a^n = a^{m - n}) $.

Сначала упростим левую часть выражения до знака деления: $ ((n^3)^2)^4 = (n^{3 \cdot 2})^4 = (n^6)^4 = n^{6 \cdot 4} = n^{24} $.

Затем упростим делитель: $ (n^7)^2 = n^{7 \cdot 2} = n^{14} $.

Теперь выполним деление: $ n^{24} : n^{14} = n^{24-14} = n^{10} $.

Подставим полученное значение обратно в исходное выражение:

$ n^{10} - 5 - n^{10} = (n^{10} - n^{10}) - 5 = 0 - 5 = -5 $.

Значение выражения равно -5 и не зависит от переменной $n$. Что и требовалось доказать.

Ответ: -5

2) Упростим выражение, применяя свойства степеней: $ (a^m)^n = a^{m \cdot n} $ и $ a^m : a^n = a^{m - n} $.

Упростим делитель: $ ((m^3)^2)^3 = (m^{3 \cdot 2})^3 = (m^6)^3 = m^{6 \cdot 3} = m^{18} $.

Выполним деление: $ m^{30} : m^{18} = m^{30-18} = m^{12} $.

Упростим последнее слагаемое: $ (m^6)^2 = m^{6 \cdot 2} = m^{12} $.

Подставим упрощенные части в исходное выражение:

$ m^{12} + 17 - m^{12} = (m^{12} - m^{12}) + 17 = 0 + 17 = 17 $.

Значение выражения равно 17 и не зависит от переменной $m$. Что и требовалось доказать.

Ответ: 17

3) Упростим выражение, используя свойства степеней: при возведении степени в степень показатели перемножаются $ ((a^m)^n = a^{m \cdot n}) $, а при умножении степеней с одинаковым основанием показатели складываются $ (a^m \cdot a^n = a^{m + n}) $.

Упростим первый множитель: $ ((a^2)^2)^2 = (a^{2 \cdot 2})^2 = (a^4)^2 = a^{4 \cdot 2} = a^8 $.

Выполним умножение: $ a^8 \cdot a^4 = a^{8+4} = a^{12} $.

Упростим последнее слагаемое: $ (a^4)^3 = a^{4 \cdot 3} = a^{12} $.

Подставим упрощенные части в исходное выражение:

$ a^{12} + 19 - a^{12} = (a^{12} - a^{12}) + 19 = 0 + 19 = 19 $.

Значение выражения равно 19 и не зависит от переменной $a$. Что и требовалось доказать.

Ответ: 19

4) Для доказательства упростим выражение, используя свойство возведения степени в степень: $ (a^m)^n = a^{m \cdot n} $.

Упростим последнее слагаемое в выражении:

$ ((b^5)^4)^2 = (b^{5 \cdot 4})^2 = (b^{20})^2 = b^{20 \cdot 2} = b^{40} $.

Теперь подставим полученный результат в исходное выражение:

$ -23 - b^{40} + b^{40} = -23 + (-b^{40} + b^{40}) = -23 + 0 = -23 $.

Значение выражения равно -23 и не зависит от переменной $b$. Что и требовалось доказать.

Ответ: -23