Номер 8.1, страница 58 - гдз по алгебре 7 класс учебник Абылкасымова, Кучер

Упростите выражения (8.1-8.2):

8.1.

1) $(a^5)^2 \cdot a^9 \cdot a^3$;

2) $a^{21} \cdot (a^4)^3 : (a^3)^{10}$;

3) $b^{40} : (b^2)^{11} : (b^4)^2$;

4) $(b^6)^4 : (b^7)^3 \cdot (b^2)^3$.

8.1. 1) Чтобы упростить выражение $(a^5)^2 \cdot a^9 \cdot a^3$, воспользуемся свойствами степеней.

Сначала применяем правило возведения степени в степень $(x^m)^n = x^{m \cdot n}$:

$(a^5)^2 = a^{5 \cdot 2} = a^{10}$.

Теперь выражение выглядит так: $a^{10} \cdot a^9 \cdot a^3$.

Далее используем правило умножения степеней с одинаковым основанием $x^m \cdot x^n = x^{m+n}$:

$a^{10} \cdot a^9 \cdot a^3 = a^{10+9+3} = a^{22}$.

Ответ: $a^{22}$.

8.1. 2) Упростим выражение $a^{21} \cdot (a^4)^3 : (a^3)^{10}$.

Применим правило возведения степени в степень $(x^m)^n = x^{m \cdot n}$ к частям выражения:

$(a^4)^3 = a^{4 \cdot 3} = a^{12}$.

$(a^3)^{10} = a^{3 \cdot 10} = a^{30}$.

Подставим полученные значения в исходное выражение: $a^{21} \cdot a^{12} : a^{30}$.

Выполним действия по порядку. Сначала умножение (свойство $x^m \cdot x^n = x^{m+n}$):

$a^{21} \cdot a^{12} = a^{21+12} = a^{33}$.

Затем деление (свойство $x^m : x^n = x^{m-n}$):

$a^{33} : a^{30} = a^{33-30} = a^3$.

Ответ: $a^3$.

8.1. 3) Упростим выражение $b^{40} : (b^2)^{11} : (b^4)^2$.

Используем правило возведения степени в степень $(x^m)^n = x^{m \cdot n}$:

$(b^2)^{11} = b^{2 \cdot 11} = b^{22}$.

$(b^4)^2 = b^{4 \cdot 2} = b^8$.

Выражение принимает вид: $b^{40} : b^{22} : b^8$.

Выполняем деление последовательно слева направо, используя правило $x^m : x^n = x^{m-n}$:

Сначала $b^{40} : b^{22} = b^{40-22} = b^{18}$.

Затем $b^{18} : b^8 = b^{18-8} = b^{10}$.

Ответ: $b^{10}$.

8.1. 4) Упростим выражение $(b^6)^4 : (b^7)^3 \cdot (b^2)^3$.

Применим правило возведения степени в степень $(x^m)^n = x^{m \cdot n}$ для каждого члена:

$(b^6)^4 = b^{6 \cdot 4} = b^{24}$.

$(b^7)^3 = b^{7 \cdot 3} = b^{21}$.

$(b^2)^3 = b^{2 \cdot 3} = b^6$.

Получаем выражение: $b^{24} : b^{21} \cdot b^6$.

Выполняем действия по порядку слева направо. Сначала деление (свойство $x^m : x^n = x^{m-n}$):

$b^{24} : b^{21} = b^{24-21} = b^3$.

Затем умножение (свойство $x^m \cdot x^n = x^{m+n}$):

$b^3 \cdot b^6 = b^{3+6} = b^9$.

Ответ: $b^9$.