Вопрос критерии успеха, страница 56 - гдз по алгебре 7 класс учебник Абылкасымова, Кучер

Как применять свойства степеней для упрощения выражений?

Для упрощения выражений с использованием свойств степеней необходимо последовательно применять соответствующие правила. Основная цель — сгруппировать степени с одинаковыми основаниями и выполнить над их показателями арифметические действия. Давайте рассмотрим основные свойства и примеры их применения.

1. Умножение степеней с одинаковым основанием

При умножении степеней с одинаковыми основаниями, основание остается тем же, а показатели степеней складываются. Формула: $a^m \cdot a^n = a^{m+n}$.

Пример: Упростить выражение $c^3 \cdot c^4$.

Решение: Основание $c$ остается, а показатели 3 и 4 складываются. $c^3 \cdot c^4 = c^{3+4} = c^7$.

Ответ: $c^7$.

2. Деление степеней с одинаковым основанием

При делении степеней с одинаковыми основаниями, основание остается тем же, а из показателя степени делимого вычитается показатель степени делителя. Формула: $\frac{a^m}{a^n} = a^{m-n}$ (при $a \neq 0$).

Пример: Упростить выражение $\frac{5^9}{5^7}$.

Решение: Основание 5 остается, а из показателя 9 вычитается 7. $\frac{5^9}{5^7} = 5^{9-7} = 5^2 = 25$.

Ответ: 25.

3. Возведение степени в степень

При возведении степени в степень, основание остается прежним, а показатели перемножаются. Формула: $(a^m)^n = a^{m \cdot n}$.

Пример: Упростить выражение $(b^5)^2$.

Решение: Основание $b$ остается, а показатели 5 и 2 перемножаются. $(b^5)^2 = b^{5 \cdot 2} = b^{10}$.

Ответ: $b^{10}$.

4. Возведение произведения в степень

Чтобы возвести произведение в степень, нужно возвести в эту степень каждый множитель и результаты перемножить. Формула: $(a \cdot b)^n = a^n \cdot b^n$.

Пример: Упростить выражение $(3x)^4$.

Решение: Возводим в четвертую степень каждый множитель: 3 и $x$. $(3x)^4 = 3^4 \cdot x^4 = 81x^4$.

Ответ: $81x^4$.

5. Возведение дроби (частного) в степень

Чтобы возвести дробь в степень, нужно возвести в эту степень и числитель, и знаменатель. Формула: $(\frac{a}{b})^n = \frac{a^n}{b^n}$ (при $b \neq 0$).

Пример: Упростить выражение $(\frac{y}{2})^3$.

Решение: Возводим в третью степень и числитель $y$, и знаменатель 2. $(\frac{y}{2})^3 = \frac{y^3}{2^3} = \frac{y^3}{8}$.

Ответ: $\frac{y^3}{8}$.

6. Степень с отрицательным показателем

Число в отрицательной степени равно обратной величине этого числа в положительной степени. Формула: $a^{-n} = \frac{1}{a^n}$ (при $a \neq 0$).

Пример: Записать $x^{-5}$ без отрицательного показателя.

Решение: По формуле $x^{-5} = \frac{1}{x^5}$.

Ответ: $\frac{1}{x^5}$.

7. Степень с нулевым показателем

Любое число (кроме нуля) в нулевой степени равно единице. Формула: $a^0 = 1$ (при $a \neq 0$).

Пример: Найти значение $100^0$.

Решение: Любое ненулевое число в степени 0 равно 1. $100^0 = 1$.

Ответ: 1.

Пример комплексного упрощения выражения

Рассмотрим, как применять эти свойства вместе для упрощения более сложного выражения. Упростим: $\frac{(a^2b^{-3})^4 \cdot a^5}{a^{-1}b^{-15}}$.

Решение:

1. Сначала упростим числитель. Применим свойство возведения степени в степень к $(a^2b^{-3})^4$: $(a^2)^4 \cdot (b^{-3})^4 = a^{2 \cdot 4} \cdot b^{-3 \cdot 4} = a^8b^{-12}$.

2. Теперь числитель выглядит так: $a^8b^{-12} \cdot a^5$. Применим свойство умножения степеней с одинаковым основанием для $a$: $a^8 \cdot a^5 = a^{8+5} = a^{13}$. Числитель стал $a^{13}b^{-12}$.

3. Все выражение теперь имеет вид: $\frac{a^{13}b^{-12}}{a^{-1}b^{-15}}$.

4. Применим свойство деления степеней для каждого основания отдельно: для $a$ и для $b$.

Для $a$: $\frac{a^{13}}{a^{-1}} = a^{13 - (-1)} = a^{13+1} = a^{14}$.

Для $b$: $\frac{b^{-12}}{b^{-15}} = b^{-12 - (-15)} = b^{-12+15} = b^3$.

5. Объединяем результаты: $a^{14}b^3$.

Ответ: $a^{14}b^3$.