Номер 7.18, страница 55 - гдз по алгебре 7 класс учебник Абылкасымова, Кучер

7.18. Докажите, что значение выражения не зависит от значения переменной $\text{x}$:

1) $2 \cdot \frac{x^4}{x^4} + x^0$;

2) $\frac{x^5}{x^4} - x + 3.$

1) Чтобы доказать, что значение выражения $2 \cdot \frac{x^4}{x^4} + x^0$ не зависит от значения переменной $x$, необходимо его упростить. Выражение определено для всех $x \neq 0$, так как в знаменателе находится $x^4$ и присутствует член $x^0$, которые требуют, чтобы основание степени не было равно нулю.

Воспользуемся свойствами степеней: $\frac{a^m}{a^n} = a^{m-n}$ и $a^0 = 1$ (при $a \neq 0$).

Упростим выражение шаг за шагом. Сначала упростим дробь:

$\frac{x^4}{x^4} = x^{4-4} = x^0$.

Теперь подставим это в исходное выражение:

$2 \cdot x^0 + x^0$.

Поскольку $x \neq 0$, то $x^0 = 1$. Заменим $x^0$ на 1:

$2 \cdot 1 + 1 = 2 + 1 = 3$.

Таким образом, при любом допустимом значении $x$ значение выражения постоянно и равно 3. Это доказывает, что оно не зависит от значения переменной $x$.

Ответ: 3.

2) Чтобы доказать, что значение выражения $\frac{x^5}{x^4} - x + 3$ не зависит от значения переменной $x$, упростим его. Область допустимых значений переменной $x$ — все числа, кроме $x=0$, так как в знаменателе дроби стоит $x^4$.

Упростим дробь, используя свойство степеней $\frac{a^m}{a^n} = a^{m-n}$:

$\frac{x^5}{x^4} = x^{5-4} = x^1 = x$.

Теперь подставим полученный результат в исходное выражение:

$(\frac{x^5}{x^4}) - x + 3 = x - x + 3 = 0 + 3 = 3$.

При любом допустимом значении $x$ (то есть $x \neq 0$) значение выражения постоянно и равно 3. Следовательно, значение выражения не зависит от значения переменной $x$.

Ответ: 3.