Номер 7.11, страница 54 - гдз по алгебре 7 класс учебник Абылкасымова, Кучер

7.11. Представьте в виде степени и найдите значение выражения:

1) $125(5a^{-3}b^3)^{-2} \cdot a^{-2}b^4$ при $a = 0,2$, $b = 0,5$;

2) $(0,5a^{-2})^{-2} : (32a^5b^2)^3$ при $a = (0,5)^{-4}$, $b = 0,25$;

3) $(2^3a^{-3}b)^{-1} \cdot 64a^{-4} : a^{-5}$ при $a = -0,125$, $b = 0,5$;

4) $27(-3^2a^3) : (3^5a^{-1}b^{-2})^3$ при $a = -0,1$, $b = 0,1$.

1) Сначала упростим данное выражение $125(5a^{-3}b^3)^{-2} \cdot a^{-2}b^4$. Для этого представим числовые коэффициенты в виде степеней и воспользуемся свойствами степеней $(xy)^n=x^ny^n$, $(x^m)^n=x^{mn}$ и $x^m \cdot x^n=x^{m+n}$.

$125 = 5^3$.

$125(5a^{-3}b^3)^{-2} \cdot a^{-2}b^4 = 5^3 \cdot 5^{-2} \cdot (a^{-3})^{-2} \cdot (b^3)^{-2} \cdot a^{-2}b^4 = 5^{3-2} \cdot a^{(-3) \cdot (-2)} \cdot b^{3 \cdot (-2)} \cdot a^{-2}b^4$

$= 5^1 \cdot a^6 \cdot b^{-6} \cdot a^{-2}b^4 = 5 \cdot a^{6-2} \cdot b^{-6+4} = 5a^4b^{-2}$.

Теперь подставим в полученное выражение значения $a = 0,2$ и $b = 0,5$. Удобно представить их в виде обыкновенных дробей или степеней: $a = 0,2 = \frac{1}{5} = 5^{-1}$ и $b = 0,5 = \frac{1}{2}$.

$5a^4b^{-2} = 5 \cdot (5^{-1})^4 \cdot (\frac{1}{2})^{-2} = 5^1 \cdot 5^{-4} \cdot 2^2 = 5^{1-4} \cdot 4 = 5^{-3} \cdot 4 = \frac{1}{5^3} \cdot 4 = \frac{4}{125}$.

Ответ: $\frac{4}{125}$.

2) Упростим выражение $(0,5a^{-2})^{-2} : (32a^5b^2)^3$. Представим коэффициенты в виде степеней числа 2: $0,5 = \frac{1}{2} = 2^{-1}$ и $32 = 2^5$.

$(0,5a^{-2})^{-2} = (2^{-1}a^{-2})^{-2} = (2^{-1})^{-2} \cdot (a^{-2})^{-2} = 2^2a^4 = 4a^4$.

$(32a^5b^2)^3 = (2^5a^5b^2)^3 = (2^5)^3 \cdot (a^5)^3 \cdot (b^2)^3 = 2^{15}a^{15}b^6$.

Выполним деление, используя свойство $\frac{x^m}{x^n} = x^{m-n}$:

$\frac{4a^4}{2^{15}a^{15}b^6} = \frac{2^2a^4}{2^{15}a^{15}b^6} = 2^{2-15}a^{4-15}b^{-6} = 2^{-13}a^{-11}b^{-6}$.

Подставим значения $a = (0,5)^{-4}$ и $b = 0,25$. Представим их также в виде степеней числа 2:

$a = (0,5)^{-4} = (2^{-1})^{-4} = 2^4$.

$b = 0,25 = \frac{1}{4} = \frac{1}{2^2} = 2^{-2}$.

Подставляем в упрощенное выражение:

$2^{-13} \cdot (2^4)^{-11} \cdot (2^{-2})^{-6} = 2^{-13} \cdot 2^{-44} \cdot 2^{12} = 2^{-13-44+12} = 2^{-45}$.

Ответ: $2^{-45}$.

3) Упростим выражение $(2^3a^{-3}b)^{-1} \cdot 64a^{-4} : a^{-5}$. Представим $64$ как $2^6$ и выполним преобразования.

$(2^3a^{-3}b)^{-1} \cdot 64a^{-4} : a^{-5} = (2^{-3}a^3b^{-1}) \cdot (2^6a^{-4}) \cdot \frac{1}{a^{-5}} = 2^{-3}a^3b^{-1} \cdot 2^6a^{-4} \cdot a^5$.

Сгруппируем множители с одинаковыми основаниями:

$2^{-3+6} \cdot a^{3-4+5} \cdot b^{-1} = 2^3a^4b^{-1} = 8a^4b^{-1}$.

Подставим значения $a = -0,125$ и $b = 0,5$. Представим их в виде степеней:

$a = -0,125 = -\frac{1}{8} = -2^{-3}$.

$b = 0,5 = \frac{1}{2} = 2^{-1}$.

Подставляем в упрощенное выражение:

$8a^4b^{-1} = 2^3 \cdot (-2^{-3})^4 \cdot (2^{-1})^{-1} = 2^3 \cdot ((-1)^4 \cdot (2^{-3})^4) \cdot 2^1 = 2^3 \cdot 1 \cdot 2^{-12} \cdot 2^1 = 2^{3-12+1} = 2^{-8}$.

Вычислим значение: $2^{-8} = \frac{1}{2^8} = \frac{1}{256}$.

Ответ: $\frac{1}{256}$.

4) Упростим выражение $27(-3^2a^3) : (3^5a^{-1}b^{-2})^3$. Обратим внимание, что $-3^2 = -(3^2) = -9$.

Упростим делимое: $27(-3^2a^3) = 3^3 \cdot (-9) \cdot a^3 = 3^3 \cdot (-1 \cdot 3^2) \cdot a^3 = -3^{3+2}a^3 = -3^5a^3$.

Упростим делитель: $(3^5a^{-1}b^{-2})^3 = (3^5)^3 \cdot (a^{-1})^3 \cdot (b^{-2})^3 = 3^{15}a^{-3}b^{-6}$.

Выполним деление:

$\frac{-3^5a^3}{3^{15}a^{-3}b^{-6}} = -3^{5-15} \cdot a^{3-(-3)} \cdot \frac{1}{b^{-6}} = -3^{-10}a^6b^6$.

Подставим значения $a = -0,1$ и $b = 0,1$.

$-3^{-10} \cdot (-0,1)^6 \cdot (0,1)^6 = -3^{-10} \cdot (0,1)^6 \cdot (0,1)^6 = -3^{-10} \cdot (0,1)^{12}$.

Представим $0,1$ как $10^{-1}$:

$-3^{-10} \cdot (10^{-1})^{12} = -3^{-10} \cdot 10^{-12}$.

Ответ: $-3^{-10} \cdot 10^{-12}$.