Номер 7.7, страница 54 - гдз по алгебре 7 класс учебник Абылкасымова, Кучер

7.7. Решите неравенство:

1) $7^{-1}x - 2^{-2}x \ge 2\frac{4}{7}$;

2) $3,125 + x \le 5,125 - 4^{-1}x$;

3) $7,25 + 2x > 5,125 - 5^{-1}x$;

4) $12,5x - 5,125 < 2^{-3} - 4^{-1}x$.

1) Решим неравенство $7^{-1}x - 2^{-2}x \ge 2\frac{4}{7}$.

Сначала упростим коэффициенты. $7^{-1} = \frac{1}{7}$, $2^{-2} = \frac{1}{2^2} = \frac{1}{4}$. Смешанную дробь представим в виде неправильной: $2\frac{4}{7} = \frac{2 \cdot 7 + 4}{7} = \frac{18}{7}$.

Неравенство принимает вид: $\frac{1}{7}x - \frac{1}{4}x \ge \frac{18}{7}$.

Приведем подобные слагаемые в левой части: $(\frac{1}{7} - \frac{1}{4})x \ge \frac{18}{7}$.

Приводя дроби к общему знаменателю 28, получаем: $(\frac{4}{28} - \frac{7}{28})x \ge \frac{18}{7}$, что равносильно $-\frac{3}{28}x \ge \frac{18}{7}$.

Чтобы найти $x$, разделим обе части на $-\frac{3}{28}$. При делении на отрицательное число знак неравенства меняется на противоположный: $x \le \frac{18}{7} \div (-\frac{3}{28})$.

Выполним деление, заменив его умножением на обратную дробь: $x \le \frac{18}{7} \cdot (-\frac{28}{3}) = - \frac{18 \cdot 28}{7 \cdot 3} = - (6 \cdot 4) = -24$.

Ответ: $x \in (-\infty, -24]$.

2) Решим неравенство $3,125 + x \le 5,125 - 4^{-1}x$.

Упростим коэффициент $4^{-1} = \frac{1}{4} = 0,25$.

Неравенство принимает вид: $3,125 + x \le 5,125 - 0,25x$.

Перенесем слагаемые с переменной $x$ в левую часть, а постоянные члены - в правую: $x + 0,25x \le 5,125 - 3,125$.

Приведем подобные слагаемые: $1,25x \le 2$.

Разделим обе части на 1,25: $x \le \frac{2}{1,25}$.

Чтобы упростить деление, можно представить $1,25$ как $\frac{5}{4}$: $x \le \frac{2}{5/4} = 2 \cdot \frac{4}{5} = \frac{8}{5} = 1,6$.

Ответ: $x \in (-\infty, 1,6]$.

3) Решим неравенство $7,25 + 2x > 5,125 - 5^{-1}x$.

Упростим коэффициент $5^{-1} = \frac{1}{5} = 0,2$.

Неравенство принимает вид: $7,25 + 2x > 5,125 - 0,2x$.

Сгруппируем слагаемые с $x$ в левой части, а числовые значения - в правой: $2x + 0,2x > 5,125 - 7,25$.

Упростим обе части: $2,2x > -2,125$.

Разделим обе части на 2,2: $x > \frac{-2,125}{2,2}$.

Для точного вычисления перейдем к обыкновенным дробям: $2,2 = \frac{22}{10} = \frac{11}{5}$ и $2,125 = 2\frac{125}{1000} = 2\frac{1}{8} = \frac{17}{8}$.

Получаем: $\frac{11}{5}x > -\frac{17}{8}$.

Умножим обе части на $\frac{5}{11}$ (положительное число, знак неравенства не меняется): $x > -\frac{17}{8} \cdot \frac{5}{11} = -\frac{85}{88}$.

Ответ: $x \in (-\frac{85}{88}, +\infty)$.

4) Решим неравенство $12,5x - 5,125 < 2^{-3} - 4^{-1}x$.

Упростим числовые значения и коэффициенты. $2^{-3} = \frac{1}{2^3} = \frac{1}{8}$, $4^{-1} = \frac{1}{4}$.

Чтобы избежать ошибок с десятичными дробями, преобразуем все в обыкновенные: $12,5 = \frac{25}{2}$, $5,125 = 5\frac{125}{1000} = 5\frac{1}{8} = \frac{41}{8}$.

Неравенство принимает вид: $\frac{25}{2}x - \frac{41}{8} < \frac{1}{8} - \frac{1}{4}x$.

Перенесем слагаемые с $x$ влево, а числа вправо: $\frac{25}{2}x + \frac{1}{4}x < \frac{1}{8} + \frac{41}{8}$.

Приведем подобные слагаемые. В левой части общий знаменатель 4, в правой части знаменатель уже общий: $(\frac{50}{4} + \frac{1}{4})x < \frac{42}{8}$.

Упрощаем: $\frac{51}{4}x < \frac{21}{4}$.

Умножим обе части на 4, чтобы избавиться от знаменателя: $51x < 21$.

Разделим на 51: $x < \frac{21}{51}$.

Сократим дробь, разделив числитель и знаменатель на 3: $x < \frac{7}{17}$.

Ответ: $x \in (-\infty, \frac{7}{17})$.