Номер 7.3, страница 53 - гдз по алгебре 7 класс учебник Абылкасымова, Кучер

7.3. Вычислите:

1) $64^{-1} \cdot 32^2$;

2) $(6^3)^2 : 36^5$;

3) $\frac{4^{-3} \cdot 2^5}{8^{-4}}$;

4) $\frac{(3^{-3})^3 \cdot 3^7}{27^2}$.

1) Для решения данного примера необходимо привести все основания степеней к одному числу. В данном случае это 2, так как $64 = 2^6$ и $32 = 2^5$.

Подставим эти значения в исходное выражение:

$64^{-1} \cdot 32^2 = (2^6)^{-1} \cdot (2^5)^2$

При возведении степени в степень их показатели перемножаются: $(a^m)^n = a^{m \cdot n}$.

$2^{6 \cdot (-1)} \cdot 2^{5 \cdot 2} = 2^{-6} \cdot 2^{10}$

При умножении степеней с одинаковым основанием их показатели складываются: $a^m \cdot a^n = a^{m+n}$.

$2^{-6 + 10} = 2^4$

Вычислим конечный результат:

$2^4 = 16$

Ответ: 16

2) Для упрощения выражения приведем все основания к числу 6. Мы знаем, что $36 = 6^2$.

Заменим 36 в выражении:

$(6^3)^2 : 36^5 = (6^3)^2 : (6^2)^5$

Используем свойство возведения степени в степень $(a^m)^n = a^{m \cdot n}$:

$6^{3 \cdot 2} : 6^{2 \cdot 5} = 6^6 : 6^{10}$

При делении степеней с одинаковым основанием их показатели вычитаются: $a^m : a^n = a^{m-n}$.

$6^{6 - 10} = 6^{-4}$

Степень с отрицательным показателем равна дроби, в числителе которой единица, а в знаменателе та же степень с положительным показателем: $a^{-n} = \frac{1}{a^n}$.

$6^{-4} = \frac{1}{6^4} = \frac{1}{1296}$

Ответ: $\frac{1}{1296}$

3) Для решения приведем все числа в выражении к основанию 2. Нам известно, что $4 = 2^2$ и $8 = 2^3$.

Подставим эти значения в исходную дробь:

$\frac{4^{-3} \cdot 2^5}{8^{-4}} = \frac{(2^2)^{-3} \cdot 2^5}{(2^3)^{-4}}$

Применим свойство возведения степени в степень $(a^m)^n = a^{m \cdot n}$:

$\frac{2^{2 \cdot (-3)} \cdot 2^5}{2^{3 \cdot (-4)}} = \frac{2^{-6} \cdot 2^5}{2^{-12}}$

В числителе применим свойство умножения степеней с одинаковым основанием $a^m \cdot a^n = a^{m+n}$:

$\frac{2^{-6+5}}{2^{-12}} = \frac{2^{-1}}{2^{-12}}$

Применим свойство деления степеней с одинаковым основанием $\frac{a^m}{a^n} = a^{m-n}$:

$2^{-1 - (-12)} = 2^{-1 + 12} = 2^{11}$

Вычислим результат:

$2^{11} = 2048$

Ответ: 2048

4) Приведем все числа в выражении к основанию 3, так как $27 = 3^3$.

Подставим это значение в дробь:

$\frac{(3^{-3})^3 \cdot 3^7}{27^2} = \frac{(3^{-3})^3 \cdot 3^7}{(3^3)^2}$

Используем свойство возведения степени в степень $(a^m)^n = a^{m \cdot n}$:

$\frac{3^{-3 \cdot 3} \cdot 3^7}{3^{3 \cdot 2}} = \frac{3^{-9} \cdot 3^7}{3^6}$

В числителе используем свойство умножения степеней $a^m \cdot a^n = a^{m+n}$:

$\frac{3^{-9+7}}{3^6} = \frac{3^{-2}}{3^6}$

Используем свойство деления степеней $\frac{a^m}{a^n} = a^{m-n}$:

$3^{-2 - 6} = 3^{-8}$

Преобразуем степень с отрицательным показателем $a^{-n} = \frac{1}{a^n}$:

$3^{-8} = \frac{1}{3^8} = \frac{1}{6561}$

Ответ: $\frac{1}{6561}$