Номер 7.8, страница 54 - гдз по алгебре 7 класс учебник Абылкасымова, Кучер

7.8. Докажите тождество:

1) $27^{-1} \cdot 81^2 \cdot (3^{-3})^3 : 81^{-3} = 9^4$;

2) $7^{-2} \cdot 21^2 \cdot (6^{-3})^2 : 14^{-3} : 343 = 2^{-3} \cdot 9^{-2}$;

3) $4^{-1} \cdot 8^2 \cdot (a^{-3})^3 : (8a^{-3})^2 = 0,25a^{-3}$;

4) $a^{-1} \cdot (ab)^2 \cdot (b^{-3})^3 : b^{-3} = ab^{-4}$.

1) Докажем тождество $27^{-1} \cdot 81^2 \cdot (3^{-3})^3 : 81^{-3} = 9^4$.

Преобразуем левую часть равенства. Для этого представим все числа в виде степеней с основанием 3, так как $27 = 3^3$ и $81 = 3^4$.

$27^{-1} \cdot 81^2 \cdot (3^{-3})^3 : 81^{-3} = (3^3)^{-1} \cdot (3^4)^2 \cdot (3^{-3})^3 : (3^4)^{-3}$

Используем свойства степеней: при возведении степени в степень показатели перемножаются ($(a^m)^n = a^{mn}$), при умножении степеней с одинаковым основанием показатели складываются ($a^m \cdot a^n = a^{m+n}$), а при делении вычитаются ($a^m : a^n = a^{m-n}$).

$(3^3)^{-1} \cdot (3^4)^2 \cdot (3^{-3})^3 : (3^4)^{-3} = 3^{-3} \cdot 3^8 \cdot 3^{-9} : 3^{-12}$

Выполним действия последовательно:

$3^{-3} \cdot 3^8 \cdot 3^{-9} = 3^{-3+8-9} = 3^{-4}$

$3^{-4} : 3^{-12} = 3^{-4 - (-12)} = 3^{-4+12} = 3^8$

Теперь преобразуем правую часть равенства, представив 9 как $3^2$:

$9^4 = (3^2)^4 = 3^{2 \cdot 4} = 3^8$

Поскольку левая и правая части равенства равны $3^8$, тождество доказано.

Ответ: Тождество доказано.

2) Докажем тождество $7^{-2} \cdot 21^2 \cdot (6^{-3})^2 : 14^{-3} : 343 = 2^{-3} \cdot 9^{-2}$.

Преобразуем левую часть. Разложим числа на простые множители: $21 = 3 \cdot 7$, $6 = 2 \cdot 3$, $14 = 2 \cdot 7$, $343 = 7^3$.

$7^{-2} \cdot (3 \cdot 7)^2 \cdot ((2 \cdot 3)^{-3})^2 : (2 \cdot 7)^{-3} : 7^3$

Используем свойства степени: $(ab)^n = a^n b^n$ и $(a^m)^n = a^{mn}$.

$7^{-2} \cdot 3^2 \cdot 7^2 \cdot (2^{-3} \cdot 3^{-3})^2 : (2^{-3} \cdot 7^{-3}) : 7^3 = 7^{-2} \cdot 3^2 \cdot 7^2 \cdot 2^{-6} \cdot 3^{-6} : (2^{-3} \cdot 7^{-3}) : 7^3$

Сгруппируем и упростим множители с одинаковыми основаниями, выполняя действия по порядку:

$(7^{-2} \cdot 7^2) \cdot (3^2 \cdot 3^{-6}) \cdot 2^{-6} = 7^{-2+2} \cdot 3^{2-6} \cdot 2^{-6} = 7^0 \cdot 3^{-4} \cdot 2^{-6} = 1 \cdot 3^{-4} \cdot 2^{-6} = 2^{-6} \cdot 3^{-4}$

Теперь выполним деление:

$(2^{-6} \cdot 3^{-4}) : (2^{-3} \cdot 7^{-3}) = (2^{-6}:2^{-3}) \cdot 3^{-4} \cdot (1:7^{-3}) = 2^{-6-(-3)} \cdot 3^{-4} \cdot 7^3 = 2^{-3} \cdot 3^{-4} \cdot 7^3$

И последнее деление:

$(2^{-3} \cdot 3^{-4} \cdot 7^3) : 7^3 = 2^{-3} \cdot 3^{-4} \cdot (7^3 : 7^3) = 2^{-3} \cdot 3^{-4} \cdot 7^0 = 2^{-3} \cdot 3^{-4}$

Теперь преобразуем правую часть: $9 = 3^2$.

$2^{-3} \cdot 9^{-2} = 2^{-3} \cdot (3^2)^{-2} = 2^{-3} \cdot 3^{-4}$

Левая и правая части равны, тождество доказано.

Ответ: Тождество доказано.

3) Докажем тождество $4^{-1} \cdot 8^2 \cdot (a^{-3})^3 : (8a^{-3})^2 = 0,25a^{-3}$.

Преобразуем левую часть. Представим числовые коэффициенты как степени числа 2: $4=2^2$, $8=2^3$.

$4^{-1} \cdot 8^2 \cdot (a^{-3})^3 : (8a^{-3})^2 = (2^2)^{-1} \cdot (2^3)^2 \cdot a^{-3 \cdot 3} : ((2^3)a^{-3})^2$

Применим свойства степеней:

$2^{-2} \cdot 2^6 \cdot a^{-9} : (2^{3 \cdot 2} \cdot a^{-3 \cdot 2}) = 2^{-2} \cdot 2^6 \cdot a^{-9} : (2^6 \cdot a^{-6})$

Выполним сначала умножение, затем деление:

$(2^{-2} \cdot 2^6) \cdot a^{-9} : (2^6 \cdot a^{-6}) = (2^{-2+6}) \cdot a^{-9} : (2^6 \cdot a^{-6}) = 2^4 \cdot a^{-9} : (2^6 \cdot a^{-6})$

$(2^4 : 2^6) \cdot (a^{-9} : a^{-6}) = 2^{4-6} \cdot a^{-9 - (-6)} = 2^{-2} \cdot a^{-9+6} = 2^{-2} \cdot a^{-3}$

Так как $2^{-2} = \frac{1}{2^2} = \frac{1}{4} = 0,25$, то левая часть равна $0,25a^{-3}$.

Правая часть уже имеет вид $0,25a^{-3}$.

Поскольку левая и правая части равны, тождество доказано.

Ответ: Тождество доказано.

4) Докажем тождество $a^{-1} \cdot (ab)^2 \cdot (b^{-3})^3 : b^{-3} = ab^{-4}$.

Преобразуем левую часть, используя свойства степеней $(xy)^n = x^ny^n$ и $(x^m)^n = x^{mn}$.

$a^{-1} \cdot (ab)^2 \cdot (b^{-3})^3 : b^{-3} = a^{-1} \cdot a^2 \cdot b^2 \cdot b^{-3 \cdot 3} : b^{-3} = a^{-1} \cdot a^2 \cdot b^2 \cdot b^{-9} : b^{-3}$

Сгруппируем степени с одинаковыми основаниями и выполним действия последовательно.

Сначала умножение:

$(a^{-1} \cdot a^2) \cdot (b^2 \cdot b^{-9}) = a^{-1+2} \cdot b^{2-9} = a^1 \cdot b^{-7} = ab^{-7}$

Теперь деление:

$(ab^{-7}) : b^{-3} = a \cdot (b^{-7} : b^{-3}) = a \cdot b^{-7 - (-3)} = a \cdot b^{-7+3} = ab^{-4}$

Левая часть равна $ab^{-4}$, что совпадает с правой частью.

Тождество доказано.

Ответ: Тождество доказано.