Номер 7.5, страница 53 - гдз по алгебре 7 класс учебник Абылкасымова, Кучер

7.5. Представьте в виде степени и найдите значение выражения:

1) $5(5a^{-3})^{-2} a^{-2}$ при $a = (0,2)^{-1}$;

2) $(0,5a^{-9})^{-2} : (32a^{5})^{3}$ при $a = (0,5)^{-4}$;

3) $(2^3 a^{-3})^{-1} \cdot 64a^{-4} : a^{-5}$ при $a = -0,125$;

4) $27(-3^2 a^{-4}) : (3^3 a^{-1})^3$ при $a = -0,1$.

1) Сначала упростим данное выражение, используя свойства степеней $(xy)^n = x^n y^n$, $(x^m)^n = x^{mn}$ и $x^m x^n = x^{m+n}$: $5(5a^{-3})^{-2} a^{-2} = 5^1 \cdot 5^{-2} \cdot (a^{-3})^{-2} \cdot a^{-2} = 5^{1-2} \cdot a^{(-3) \cdot (-2)} \cdot a^{-2} = 5^{-1} \cdot a^6 \cdot a^{-2} = 5^{-1}a^{6-2} = 5^{-1}a^4$.

Теперь найдем значение выражения при $a = (0,2)^{-1}$. Вычислим значение $a$: $a = (0,2)^{-1} = (\frac{1}{5})^{-1} = 5$. Подставим значение $a=5$ в упрощенное выражение: $5^{-1} \cdot 5^4 = 5^{-1+4} = 5^3$. Значение выражения равно $5^3 = 125$.

Ответ: $5^3=125$.

2) Упростим выражение $(0,5a^{-9})^{-2} : (32a^5)^3$. Представим деление в виде дроби и применим свойства степеней: $\frac{(0,5a^{-9})^{-2}}{(32a^5)^3} = \frac{0,5^{-2} \cdot (a^{-9})^{-2}}{32^3 \cdot (a^5)^3} = \frac{0,5^{-2} a^{18}}{32^3 a^{15}}$. Сгруппируем числовые коэффициенты и переменные, используя свойство $\frac{x^m}{x^n} = x^{m-n}$: $\frac{0,5^{-2}}{32^3} \cdot \frac{a^{18}}{a^{15}} = \frac{0,5^{-2}}{32^3} \cdot a^{18-15} = \frac{0,5^{-2}}{32^3} \cdot a^3$. Преобразуем числовые коэффициенты к основанию 2: $0,5 = 2^{-1}$ и $32 = 2^5$. $\frac{(2^{-1})^{-2}}{(2^5)^3} \cdot a^3 = \frac{2^2}{2^{15}} \cdot a^3 = 2^{2-15} \cdot a^3 = 2^{-13}a^3$.

Теперь найдем значение при $a = (0,5)^{-4}$. Вычислим $a$: $a = (0,5)^{-4} = (2^{-1})^{-4} = 2^4$. Подставим значение $a=2^4$ в упрощенное выражение: $2^{-13} \cdot (2^4)^3 = 2^{-13} \cdot 2^{12} = 2^{-13+12} = 2^{-1}$. Значение выражения равно $2^{-1} = 0,5$.

Ответ: $2^{-1}=0,5$.

3) Упростим выражение $(2^3a^{-3})^{-1} \cdot 64a^{-4} : a^{-5}$. Деление на $a^{-5}$ равносильно умножению на $a^5$. $(2^3a^{-3})^{-1} \cdot 64a^{-4} \cdot a^5 = (2^3)^{-1}(a^{-3})^{-1} \cdot 64a^{-4}a^5 = 2^{-3}a^3 \cdot 64a^{-4}a^5$. Сгруппируем и упростим числовые коэффициенты и переменные. Числовая часть: $2^{-3} \cdot 64 = 2^{-3} \cdot 2^6 = 2^{-3+6} = 2^3 = 8$. Часть с переменной: $a^3 \cdot a^{-4} \cdot a^5 = a^{3-4+5} = a^4$. Упрощенное выражение: $8a^4$.

Найдем значение выражения при $a = -0,125 = -\frac{1}{8}$. Подставим значение $a = -1/8$ в упрощенное выражение: $8 \cdot (-\frac{1}{8})^4 = 8 \cdot \frac{1}{8^4} = 8^1 \cdot 8^{-4} = 8^{1-4} = 8^{-3}$. Значение выражения равно $8^{-3} = \frac{1}{8^3} = \frac{1}{512}$.

Ответ: $8^{-3}=\frac{1}{512}$.

4) Упростим выражение $27(-3^2a^{-4}) : (3^3a^{-1})^3$. По стандартному порядку операций, $-3^2 = -(3^2) = -9$. Запишем выражение в виде дроби: $\frac{27 \cdot (-3^2 a^{-4})}{(3^3 a^{-1})^3}$. Упростим числитель: $27 \cdot (-9a^{-4}) = 3^3 \cdot (-3^2 a^{-4}) = -3^{3+2}a^{-4} = -3^5a^{-4}$. Упростим знаменатель: $(3^3 a^{-1})^3 = (3^3)^3 \cdot (a^{-1})^3 = 3^9 a^{-3}$. Выполним деление: $\frac{-3^5a^{-4}}{3^9a^{-3}} = - \frac{3^5}{3^9} \cdot \frac{a^{-4}}{a^{-3}} = -3^{5-9} \cdot a^{-4-(-3)} = -3^{-4}a^{-1}$.

Найдем значение выражения при $a = -0,1 = -\frac{1}{10}$. Подставим значение $a$ в упрощенное выражение: $-3^{-4} \cdot (-\frac{1}{10})^{-1} = -3^{-4} \cdot (-10) = -\frac{1}{3^4} \cdot (-10) = -\frac{1}{81} \cdot (-10) = \frac{10}{81}$.

Ответ: $\frac{10}{81}$.