Номер 7.1, страница 53 - гдз по алгебре 7 класс учебник Абылкасымова, Кучер

7.1. Используя свойства степени с целым показателем, упростите выражение:

1) $2a^{-2} \cdot 3a^4;$

2) $24a^5 : (6a^{-3});$

3) $(2c^{-3})^2;$

4) $2(3^{-3}b^3)^2 \cdot 3b^{-4}.$

1) $2a^{-2} \cdot 3a^4$

Для упрощения этого выражения мы сгруппируем числовые коэффициенты и степени с одинаковым основанием, а затем применим свойства степеней.

1. Сгруппируем множители: $(2 \cdot 3) \cdot (a^{-2} \cdot a^4)$.

2. Перемножим числовые коэффициенты: $2 \cdot 3 = 6$.

3. Применим свойство умножения степеней с одинаковым основанием $x^m \cdot x^n = x^{m+n}$ к переменной $a$: $a^{-2} \cdot a^4 = a^{-2+4} = a^2$.

4. Объединим результаты: $6a^2$.

Ответ: $6a^2$

2) $24a^5 : (6a^{-3})$

Для упрощения этого выражения мы разделим числовые коэффициенты и степени с одинаковым основанием, используя свойства степеней.

1. Представим деление в виде дроби: $\frac{24a^5}{6a^{-3}}$.

2. Разделим числовые коэффициенты: $\frac{24}{6} = 4$.

3. Применим свойство деления степеней с одинаковым основанием $\frac{x^m}{x^n} = x^{m-n}$ к переменной $a$: $\frac{a^5}{a^{-3}} = a^{5 - (-3)} = a^{5+3} = a^8$.

4. Объединим результаты: $4a^8$.

Ответ: $4a^8$

3) $(2c^{-3})^2$

Для упрощения этого выражения мы используем свойство возведения произведения в степень и свойство возведения степени в степень.

1. Применим свойство возведения произведения в степень $(xy)^n = x^n y^n$: $(2c^{-3})^2 = 2^2 \cdot (c^{-3})^2$.

2. Вычислим квадрат числового коэффициента: $2^2 = 4$.

3. Применим свойство возведения степени в степень $(x^m)^n = x^{m \cdot n}$ к переменной $c$: $(c^{-3})^2 = c^{-3 \cdot 2} = c^{-6}$.

4. Объединим результаты: $4c^{-6}$.

Ответ: $4c^{-6}$

4) $2(3^{-3}b^3)^2 \cdot 3b^{-4}$

Для упрощения этого сложного выражения мы последовательно применим несколько свойств степеней.

1. Сначала упростим выражение в скобках, возведенное в квадрат, используя свойство $(xy)^n = x^n y^n$: $(3^{-3}b^3)^2 = (3^{-3})^2 \cdot (b^3)^2$.

2. Применим свойство возведения степени в степень $(x^m)^n = x^{m \cdot n}$: $(3^{-3})^2 = 3^{-3 \cdot 2} = 3^{-6}$ и $(b^3)^2 = b^{3 \cdot 2} = b^6$. Таким образом, $(3^{-3}b^3)^2 = 3^{-6}b^6$.

3. Подставим упрощенное выражение обратно в исходное: $2 \cdot (3^{-6}b^6) \cdot 3b^{-4}$.

4. Сгруппируем числовые множители и степени с основанием $b$: $(2 \cdot 3^{-6} \cdot 3^1) \cdot (b^6 \cdot b^{-4})$.

5. Применим свойство умножения степеней $x^m \cdot x^n = x^{m+n}$:

- Для основания 3: $3^{-6} \cdot 3^1 = 3^{-6+1} = 3^{-5}$.

- Для основания $b$: $b^6 \cdot b^{-4} = b^{6+(-4)} = b^2$.

6. Объединим все части: $2 \cdot 3^{-5} \cdot b^2$.

7. Вычислим значение $3^{-5}$: $3^{-5} = \frac{1}{3^5} = \frac{1}{243}$.

8. Получим окончательный результат: $2 \cdot \frac{1}{243} \cdot b^2 = \frac{2}{243}b^2$.

Ответ: $\frac{2}{243}b^2$