Задания, страница 52 - гдз по алгебре 7 класс учебник Абылкасымова, Кучер

Самостоятельно докажите свойства 2)—5).

Поскольку в задании не указаны конкретные свойства, которые необходимо доказать, будут доказаны стандартные свойства логарифмов, которые обычно приводятся в учебниках под этими номерами.

Для доказательства используется определение логарифма: $\log_a b = c \Leftrightarrow a^c = b$. Все доказательства проводятся при условии, что основание логарифма $a > 0, a \neq 1$, а логарифмируемые выражения положительны.

2) Докажем свойство логарифма произведения: $\log_a(xy) = \log_a(x) + \log_a(y)$ для $x>0, y>0$.

Пусть $\log_a(x) = m$ и $\log_a(y) = n$.

По определению логарифма, это равносильно тому, что $x = a^m$ и $y = a^n$.

Перемножим $x$ и $y$:

$xy = a^m \cdot a^n$

Используя свойство степеней ($a^p \cdot a^q = a^{p+q}$), получаем:

$xy = a^{m+n}$

Теперь, по определению логарифма, из равенства $xy = a^{m+n}$ следует, что:

$\log_a(xy) = m+n$

Подставим вместо $m$ и $n$ их первоначальные выражения:

$\log_a(xy) = \log_a(x) + \log_a(y)$

Свойство доказано.

Ответ: Свойство логарифма произведения доказано.

3) Докажем свойство логарифма частного: $\log_a(\frac{x}{y}) = \log_a(x) - \log_a(y)$ для $x>0, y>0$.

Пусть $\log_a(x) = m$ и $\log_a(y) = n$.

Тогда по определению $x = a^m$ и $y = a^n$.

Найдем частное $\frac{x}{y}$:

$\frac{x}{y} = \frac{a^m}{a^n}$

Используя свойство степеней ($\frac{a^p}{a^q} = a^{p-q}$), получаем:

$\frac{x}{y} = a^{m-n}$

По определению логарифма, из этого равенства следует:

$\log_a(\frac{x}{y}) = m-n$

Подставляем обратно выражения для $m$ и $n$:

$\log_a(\frac{x}{y}) = \log_a(x) - \log_a(y)$

Свойство доказано.

Ответ: Свойство логарифма частного доказано.

4) Докажем свойство логарифма степени: $\log_a(x^p) = p \cdot \log_a(x)$ для $x>0$ и любого действительного $p$.

Пусть $\log_a(x) = m$.

По определению логарифма, это означает, что $x = a^m$.

Возведем обе части равенства в степень $p$:

$x^p = (a^m)^p$

Используя свойство степеней ($(a^k)^q = a^{kq}$), получаем:

$x^p = a^{mp}$

Снова применяем определение логарифма:

$\log_a(x^p) = mp$

Подставим вместо $m$ его выражение через логарифм:

$\log_a(x^p) = p \cdot \log_a(x)$

Свойство доказано.

Ответ: Свойство логарифма степени доказано.

5) Докажем формулу перехода к новому основанию: $\log_a b = \frac{\log_c b}{\log_c a}$ для $b>0$ и $c>0, c \neq 1$.

Пусть $\log_a b = x$.

По определению логарифма, $b = a^x$.

Прологарифмируем обе части этого равенства по новому основанию $c$:

$\log_c b = \log_c(a^x)$

Применим уже доказанное свойство логарифма степени (свойство 4) к правой части равенства:

$\log_c b = x \cdot \log_c a$

Выразим $x$ из этого равенства. Поскольку $a \neq 1$, то $\log_c a \neq 0$, и мы можем на него разделить:

$x = \frac{\log_c b}{\log_c a}$

Подставим вместо $x$ его первоначальное обозначение $\log_a b$:

$\log_a b = \frac{\log_c b}{\log_c a}$

Свойство доказано.

Ответ: Формула перехода к новому основанию доказана.