Номер 6.9, страница 48 - гдз по алгебре 7 класс учебник Абылкасымова, Кучер

6.9. Представьте в виде дроби выражение:

1) $a^{-1} + b^{-1}$;

2) $ab^{-1} - a^{-1}b$;

3) $(x + y^{-1})(x^{-1} + y)$.

1) Чтобы представить выражение $a^{-1} + b^{-1}$ в виде дроби, воспользуемся определением степени с отрицательным показателем: $x^{-n} = \frac{1}{x^n}$.

Таким образом, $a^{-1} = \frac{1}{a}$ и $b^{-1} = \frac{1}{b}$.

Исходное выражение примет вид:

$a^{-1} + b^{-1} = \frac{1}{a} + \frac{1}{b}$

Чтобы сложить две дроби, приведем их к общему знаменателю. Общим знаменателем для дробей $\frac{1}{a}$ и $\frac{1}{b}$ является $ab$.

$\frac{1}{a} + \frac{1}{b} = \frac{1 \cdot b}{a \cdot b} + \frac{1 \cdot a}{b \cdot a} = \frac{b}{ab} + \frac{a}{ab}$

Сложим числители, оставив знаменатель прежним:

$\frac{b + a}{ab}$

Ответ: $\frac{a+b}{ab}$.

2) Рассмотрим выражение $ab^{-1} - a^{-1}b$.

Используя правило $x^{-1} = \frac{1}{x}$, преобразуем каждый член выражения:

$ab^{-1} = a \cdot \frac{1}{b} = \frac{a}{b}$

$a^{-1}b = \frac{1}{a} \cdot b = \frac{b}{a}$

Теперь исходное выражение можно записать в виде разности двух дробей:

$\frac{a}{b} - \frac{b}{a}$

Приведем дроби к общему знаменателю $ab$:

$\frac{a \cdot a}{b \cdot a} - \frac{b \cdot b}{a \cdot b} = \frac{a^2}{ab} - \frac{b^2}{ab}$

Выполним вычитание:

$\frac{a^2 - b^2}{ab}$

Ответ: $\frac{a^2 - b^2}{ab}$.

3) Представим в виде дроби выражение $(x + y^{-1})(x^{-1} + y)$.

Сначала преобразуем выражения в скобках, используя свойство $a^{-1} = \frac{1}{a}$.

Преобразуем первый множитель:

$x + y^{-1} = x + \frac{1}{y}$

Приведем к общему знаменателю $y$:

$x + \frac{1}{y} = \frac{x \cdot y}{y} + \frac{1}{y} = \frac{xy + 1}{y}$

Преобразуем второй множитель:

$x^{-1} + y = \frac{1}{x} + y$

Приведем к общему знаменателю $x$:

$\frac{1}{x} + y = \frac{1}{x} + \frac{y \cdot x}{x} = \frac{1 + yx}{x}$

Теперь перемножим полученные дроби:

$(x + y^{-1})(x^{-1} + y) = \left(\frac{xy + 1}{y}\right) \cdot \left(\frac{1 + xy}{x}\right)$

$\frac{(xy + 1)(1 + xy)}{yx} = \frac{(xy+1)^2}{xy}$

Ответ: $\frac{(xy+1)^2}{xy}$.