Номер 6.4, страница 47 - гдз по алгебре 7 класс учебник Абылкасымова, Кучер

6.4. Вычислите:

1) $2^{-3}$;

2) $(-3)^{-3}$;

3) $(-1)^{-22}$;

4) $(\frac{2}{5})^3$;

5) $0,02^{-3}$;

6) $1,25^{-2}$;

7) $-4^{-3}$;

8) $(-0,3)^{-2}$;

9) $(\frac{2}{5})^3$;

10) $(2,25)^{-1}$;

11) $-(-2,3)^{-1}$;

12) $-(-2\frac{1}{3})^{-2}$.

1) Для вычисления степени с отрицательным показателем используется формула $a^{-n} = \frac{1}{a^n}$. Применительно к данному случаю: $2^{-3} = \frac{1}{2^3} = \frac{1}{8}$.

Ответ: $\frac{1}{8}$

2) Аналогично предыдущему пункту, $(-3)^{-3} = \frac{1}{(-3)^3}$. Так как $(-3)^3 = -27$, получаем $\frac{1}{-27} = -\frac{1}{27}$.

Ответ: $-\frac{1}{27}$

3) Используем свойство $a^{-n} = \frac{1}{a^n}$, получаем $(-1)^{-22} = \frac{1}{(-1)^{22}}$. Так как показатель степени $22$ является четным числом, $(-1)^{22} = 1$. Следовательно, результат равен $\frac{1}{1} = 1$.

Ответ: $1$

4) Для возведения дроби в степень, необходимо возвести в эту степень числитель и знаменатель по отдельности: $(\frac{2}{5})^3 = \frac{2^3}{5^3} = \frac{8}{125}$.

Ответ: $\frac{8}{125}$

5) Сначала преобразуем десятичную дробь в обыкновенную: $0,02 = \frac{2}{100} = \frac{1}{50}$. Затем применяем свойство $(\frac{a}{b})^{-n} = (\frac{b}{a})^n$: $(\frac{1}{50})^{-3} = (\frac{50}{1})^3 = 50^3 = 125000$.

Ответ: $125000$

6) Преобразуем $1,25$ в дробь: $1,25 = \frac{125}{100} = \frac{5}{4}$. Теперь вычисляем: $(\frac{5}{4})^{-2} = (\frac{4}{5})^2 = \frac{4^2}{5^2} = \frac{16}{25}$.

Ответ: $\frac{16}{25}$

7) Порядок операций предписывает сначала выполнить возведение в степень, а затем применить унарный минус. $4^{-3} = \frac{1}{4^3} = \frac{1}{64}$. Следовательно, $-4^{-3} = -\frac{1}{64}$.

Ответ: $-\frac{1}{64}$

8) Преобразуем десятичную дробь в обыкновенную: $-0,3 = -\frac{3}{10}$. Далее: $(-\frac{3}{10})^{-2} = (-\frac{10}{3})^2$. Возведение в четную степень убирает знак минус: $(\frac{10}{3})^2 = \frac{10^2}{3^2} = \frac{100}{9}$.

Ответ: $\frac{100}{9}$

9) Задание идентично пункту 4. Для возведения дроби в степень, необходимо возвести в эту степень числитель и знаменатель по отдельности: $(\frac{2}{5})^3 = \frac{2^3}{5^3} = \frac{8}{125}$.

Ответ: $\frac{8}{125}$

10) Преобразуем $2,25$ в дробь: $2,25 = 2\frac{1}{4} = \frac{9}{4}$. Степень $-1$ означает обратное число: $(\frac{9}{4})^{-1} = \frac{4}{9}$.

Ответ: $\frac{4}{9}$

11) Вычислим выражение в скобках: $(-2,3)^{-1} = (-\frac{23}{10})^{-1} = -\frac{10}{23}$. Теперь применим внешний знак минус: $- (-\frac{10}{23}) = \frac{10}{23}$.

Ответ: $\frac{10}{23}$

12) Сначала преобразуем смешанное число: $-2\frac{1}{3} = -\frac{7}{3}$. Теперь вычисляем степень: $(-\frac{7}{3})^{-2} = (-\frac{3}{7})^2 = \frac{9}{49}$. Наконец, применяем внешний минус: $-(\frac{9}{49}) = -\frac{9}{49}$.

Ответ: $-\frac{9}{49}$