Номер 6.10, страница 49 - гдз по алгебре 7 класс учебник Абылкасымова, Кучер

6.10. Представьте дробь в виде степени с целым показателем:

1) $\frac{2ab^2}{c^2x^3}$;

2) $\frac{54x^3y^2}{2a^5b^4}$;

3) $\frac{4}{(x+y)^3}$;

4) $\frac{(a-b)^3}{(a+b)^5}$.

1) Чтобы представить дробь $\frac{2ab^2}{c^2x^3}$ в виде произведения степеней с целыми показателями, мы используем свойство степени с отрицательным показателем: $\frac{1}{a^n} = a^{-n}$. Каждый множитель из знаменателя можно перенести в числитель, изменив знак его показателя степени на противоположный.

Для $c^2$ в знаменателе получаем $c^{-2}$ в числителе.

Для $x^3$ в знаменателе получаем $x^{-3}$ в числителе.

Таким образом, выражение преобразуется следующим образом:

$\frac{2ab^2}{c^2x^3} = 2 \cdot a \cdot b^2 \cdot \frac{1}{c^2} \cdot \frac{1}{x^3} = 2ab^2c^{-2}x^{-3}$.

Ответ: $2ab^2c^{-2}x^{-3}$.

2) Сначала упростим числовые коэффициенты в дроби $\frac{54x^3y^2}{2a^5b^4}$, разделив 54 на 2:

$\frac{54}{2} = 27$.

Затем, аналогично предыдущему примеру, перенесем переменные из знаменателя в числитель, изменив знаки их показателей:

$a^5$ в знаменателе становится $a^{-5}$ в числителе.

$b^4$ в знаменателе становится $b^{-4}$ в числителе.

Объединив все части, получаем:

$\frac{54x^3y^2}{2a^5b^4} = 27x^3y^2a^{-5}b^{-4}$.

Для удобства принято записывать переменные в алфавитном порядке: $27a^{-5}b^{-4}x^3y^2$.

Ответ: $27a^{-5}b^{-4}x^3y^2$.

3) В данном выражении $\frac{4}{(x+y)^3}$ в знаменателе находится степень, основанием которой является целое выражение $(x+y)$. Мы можем применить то же правило $\frac{1}{a^n} = a^{-n}$, считая, что $a = (x+y)$ и $n=3$.

Таким образом, $\frac{1}{(x+y)^3} = (x+y)^{-3}$.

Умножив на числовой коэффициент 4, получаем:

$\frac{4}{(x+y)^3} = 4 \cdot (x+y)^{-3}$.

Ответ: $4(x+y)^{-3}$.

4) Дробь $\frac{(a-b)^3}{(a+b)^5}$ содержит степени с разными основаниями: $(a-b)$ и $(a+b)$.

Степень $(a-b)^3$ уже находится в числителе.

Степень $(a+b)^5$ находится в знаменателе. Чтобы перенести ее в числитель, мы изменим знак показателя степени с 5 на -5.

$\frac{1}{(a+b)^5} = (a+b)^{-5}$.

В результате дробь представляется в виде произведения двух степеней:

$\frac{(a-b)^3}{(a+b)^5} = (a-b)^3(a+b)^{-5}$.

Ответ: $(a-b)^3(a+b)^{-5}$.