Номер 7.9, страница 54 - гдз по алгебре 7 класс учебник Абылкасымова, Кучер

Сравните значения выражений (7.9-7.10):

7.9.

1) $128^{-2} \cdot 32^3$ и $(6^3)^2 : 36^5$;

2) $\frac{8^{-3} \cdot 2^5}{16^{-4}}$ И $\frac{(3^{-3})^3 \cdot 9^7 \cdot 2^{-2}}{81^2}$.

1) Сравним значения выражений $128^{-2} \cdot 32^3$ и $(6^3)^2 : 36^5$.

Сначала упростим первое выражение. Для этого представим основания степеней 128 и 32 как степени числа 2:

$128 = 2^7$

$32 = 2^5$

Подставим эти значения в выражение:

$128^{-2} \cdot 32^3 = (2^7)^{-2} \cdot (2^5)^3$

Используя свойство степени $(a^m)^n = a^{mn}$, получаем:

$2^{7 \cdot (-2)} \cdot 2^{5 \cdot 3} = 2^{-14} \cdot 2^{15}$

Далее, используя свойство произведения степеней $a^m \cdot a^n = a^{m+n}$, получаем:

$2^{-14 + 15} = 2^1 = 2$

Теперь упростим второе выражение $(6^3)^2 : 36^5$. Представим 36 как степень числа 6:

$36 = 6^2$

Подставим это значение и применим свойства степеней:

$(6^3)^2 : 36^5 = 6^{3 \cdot 2} : (6^2)^5 = 6^6 : 6^{2 \cdot 5} = 6^6 : 6^{10}$

Используя свойство частного степеней $a^m : a^n = a^{m-n}$, получаем:

$6^{6-10} = 6^{-4}$

Осталось сравнить полученные значения: 2 и $6^{-4}$.

$6^{-4} = \frac{1}{6^4} = \frac{1}{1296}$

Так как $2 > \frac{1}{1296}$, то и исходные выражения находятся в таком же соотношении.

Ответ: $128^{-2} \cdot 32^3 > (6^3)^2 : 36^5$.

2) Сравним значения выражений $\frac{8^{-3} \cdot 2^5}{16^{-4}}$ и $\frac{(3^{-3})^3 \cdot 9^7 \cdot 2^{-2}}{81^2}$.

Упростим первое выражение. Представим основания 8 и 16 как степени числа 2:

$8 = 2^3$

$16 = 2^4$

Подставим в выражение:

$\frac{8^{-3} \cdot 2^5}{16^{-4}} = \frac{(2^3)^{-3} \cdot 2^5}{(2^4)^{-4}} = \frac{2^{-9} \cdot 2^5}{2^{-16}}$

Упростим числитель: $2^{-9} \cdot 2^5 = 2^{-9+5} = 2^{-4}$.

Теперь разделим на знаменатель: $\frac{2^{-4}}{2^{-16}} = 2^{-4 - (-16)} = 2^{-4+16} = 2^{12}$.

Теперь упростим второе выражение. Представим основания 9 и 81 как степени числа 3:

$9 = 3^2$

$81 = 3^4$

Подставим в выражение:

$\frac{(3^{-3})^3 \cdot 9^7 \cdot 2^{-2}}{81^2} = \frac{3^{-3 \cdot 3} \cdot (3^2)^7 \cdot 2^{-2}}{(3^4)^2} = \frac{3^{-9} \cdot 3^{14} \cdot 2^{-2}}{3^8}$

Упростим произведение степеней с основанием 3 в числителе: $3^{-9} \cdot 3^{14} = 3^{-9+14} = 3^5$.

Выражение примет вид: $\frac{3^5 \cdot 2^{-2}}{3^8}$.

Упростим дробь: $3^{5-8} \cdot 2^{-2} = 3^{-3} \cdot 2^{-2}$.

Сравним полученные значения: $2^{12}$ и $3^{-3} \cdot 2^{-2}$.

$2^{12} = 4096$.

$3^{-3} \cdot 2^{-2} = \frac{1}{3^3} \cdot \frac{1}{2^2} = \frac{1}{27 \cdot 4} = \frac{1}{108}$.

Так как $4096 > \frac{1}{108}$, то и исходные выражения находятся в том же соотношении.

Ответ: $\frac{8^{-3} \cdot 2^5}{16^{-4}} > \frac{(3^{-3})^3 \cdot 9^7 \cdot 2^{-2}}{81^2}$.