Номер 7.16, страница 55 - гдз по алгебре 7 класс учебник Абылкасымова, Кучер

Докажите тождества (7.15-7.16):

7.16. 1) $\left(\frac{8x^{-2}}{y^{-3}}\right)^3 \cdot \left(\frac{2^{-4}}{x^{-2}y^2}\right)^3 = 0,125y^3$

2) $\frac{3^3 : 27}{17^0 \cdot a^{-2}} \cdot a^3 = \frac{a^2}{a^{-3}}$

3) $\frac{5^3 : 75}{19^0 \cdot b^{-2}} \cdot b = \frac{5}{3b^{-3}}$

1) Докажем тождество $(\frac{8x^{-2}}{y^{-3}})^3 \cdot (\frac{2^{-4}}{x^{-2}y^2})^3 = 0,125y^3$.

Преобразуем левую часть равенства. Для начала упростим выражения в скобках, используя свойство степени $a^{-n} = \frac{1}{a^n}$:

$\frac{8x^{-2}}{y^{-3}} = 8x^{-2}y^3$

$\frac{2^{-4}}{x^{-2}y^2} = 2^{-4}x^2y^{-2}$

Теперь подставим упрощенные выражения обратно и воспользуемся свойством $(ab)^n = a^n b^n$:

$(\frac{8x^{-2}}{y^{-3}})^3 \cdot (\frac{2^{-4}}{x^{-2}y^2})^3 = (8x^{-2}y^3)^3 \cdot (2^{-4}x^2y^{-2})^3$

Применим свойство $(a^m)^n = a^{mn}$ и представим $8$ как $2^3$:

$((2^3)x^{-2}y^3)^3 \cdot (2^{-4}x^2y^{-2})^3 = (2^{3 \cdot 3}x^{-2 \cdot 3}y^{3 \cdot 3}) \cdot (2^{-4 \cdot 3}x^{2 \cdot 3}y^{-2 \cdot 3})$

$= (2^9x^{-6}y^9) \cdot (2^{-12}x^6y^{-6})$

Теперь сгруппируем множители с одинаковыми основаниями и используем свойство $a^m \cdot a^n = a^{m+n}$:

$(2^9 \cdot 2^{-12}) \cdot (x^{-6} \cdot x^6) \cdot (y^9 \cdot y^{-6}) = 2^{9-12} \cdot x^{-6+6} \cdot y^{9-6} = 2^{-3} \cdot x^0 \cdot y^3$

Так как $x^0 = 1$ и $2^{-3} = \frac{1}{2^3} = \frac{1}{8}$, получаем:

$\frac{1}{8}y^3$

Теперь преобразуем правую часть равенства:

$0,125y^3 = \frac{125}{1000}y^3 = \frac{1}{8}y^3$

Левая и правая части равны ($\frac{1}{8}y^3 = \frac{1}{8}y^3$), следовательно, тождество доказано.

Ответ: Тождество доказано.

2) Проверим, является ли равенство $\frac{3^3}{17^0 \cdot a^{-2}} : \frac{27}{a^{-2}} \cdot a^3 = \frac{a^2}{a^{-3}}$ тождеством.

Преобразуем левую часть. Упростим числовые значения: $3^3 = 27$ и $17^0 = 1$.

$\frac{27}{1 \cdot a^{-2}} : \frac{27}{a^{-2}} \cdot a^3$

Выражение $\frac{27}{a^{-2}}$ делится само на себя. При условии, что $a \neq 0$, это частное равно 1. Выполняя операции слева направо:

$(\frac{27}{a^{-2}} : \frac{27}{a^{-2}}) \cdot a^3 = 1 \cdot a^3 = a^3$

Теперь преобразуем правую часть, используя свойство частного степеней $\frac{a^m}{a^n} = a^{m-n}$:

$\frac{a^2}{a^{-3}} = a^{2 - (-3)} = a^{2+3} = a^5$

В результате преобразований мы получили равенство $a^3 = a^5$. Это равенство не является тождеством, так как оно верно не для всех допустимых значений переменной $a$ (например, оно неверно при $a=2$: $8 \neq 32$).

Ответ: Равенство не является тождеством.

3) Докажем тождество $\frac{5^3}{19^0 \cdot b^{-2}} : 75 \cdot b = \frac{5}{3b^{-3}}$.

Преобразуем левую часть. Сначала упростим числовые значения: $5^3=125$ и $19^0=1$.

$\frac{125}{1 \cdot b^{-2}} : 75 \cdot b = \frac{125}{b^{-2}} : 75 \cdot b$

Используя свойство $a^{-n} = \frac{1}{a^n}$, получаем $\frac{1}{b^{-2}} = b^2$.

$125b^2 : 75 \cdot b$

Выполним операции в порядке их следования (слева направо). Сначала деление, потом умножение:

$(125b^2 : 75) \cdot b = \frac{125b^2}{75} \cdot b$

Сократим числовой коэффициент: $\frac{125}{75} = \frac{5 \cdot 25}{3 \cdot 25} = \frac{5}{3}$.

$\frac{5}{3}b^2 \cdot b = \frac{5}{3}b^{2+1} = \frac{5}{3}b^3$

Теперь преобразуем правую часть:

$\frac{5}{3b^{-3}} = \frac{5}{3} \cdot \frac{1}{b^{-3}} = \frac{5}{3}b^3$

Левая и правая части равны ($\frac{5}{3}b^3 = \frac{5}{3}b^3$), следовательно, тождество доказано.

Ответ: Тождество доказано.