Номер 7.15, страница 55 - гдз по алгебре 7 класс учебник Абылкасымова, Кучер

Докажите тождества (7.15-7.16):

7.15.

1) $(0,25a^{-2})^2 \cdot 4^3 a^3 = 2^2 a^{-1};$

2) $\frac{2^3 : 4}{14^0 \cdot a^{-2}} \cdot a = \frac{2}{a^{-3}};$

3) $\frac{2^3 : 8}{24^0 \cdot a^{-2}} \cdot a^2 = a^4.$

1) Преобразуем левую часть тождества. Представим число $0,25$ в виде степени с основанием 2: $0,25 = \frac{1}{4} = \frac{1}{2^2} = 2^{-2}$. Также представим $4^3$ как степень с основанием 2: $4^3 = (2^2)^3 = 2^6$. Теперь подставим эти значения в выражение и воспользуемся свойствами степеней $(x^m)^n = x^{mn}$ и $x^m \cdot x^n = x^{m+n}$: $(0,25a^{-2})^2 \cdot 4^3a^3 = (2^{-2}a^{-2})^2 \cdot 2^6a^3 = (2^{-2})^2 \cdot (a^{-2})^2 \cdot 2^6a^3 = 2^{-4}a^{-4} \cdot 2^6a^3$. Сгруппируем множители с одинаковыми основаниями: $(2^{-4} \cdot 2^6) \cdot (a^{-4} \cdot a^3) = 2^{-4+6}a^{-4+3} = 2^2a^{-1}$. Левая часть равна правой.

Ответ: тождество доказано.

2) Упростим левую и правую части тождества. Для левой части сначала вычислим числитель и знаменатель дроби. Числитель: $2^3 : 4 = 8 : 4 = 2$. Знаменатель: $14^0 \cdot a^{-2} = 1 \cdot a^{-2} = a^{-2}$ (так как любое число в нулевой степени равно 1). Теперь все выражение для левой части выглядит так: $\frac{2^3 : 4}{14^0 \cdot a^{-2}} \cdot a = \frac{2}{a^{-2}} \cdot a$. Используя свойство $a^{-n} = 1/a^n$, получаем $2a^2 \cdot a = 2a^{2+1} = 2a^3$. Теперь упростим правую часть: $\frac{2}{a^{-3}} = 2a^3$. Так как левая и правая части равны $2a^3$, тождество доказано.

Ответ: тождество доказано.

3) Преобразуем левую часть тождества. Упростим числитель и знаменатель дроби по отдельности. Числитель: $2^3 : 8 = 8 : 8 = 1$. Знаменатель: $24^0 \cdot a^{-2} = 1 \cdot a^{-2} = a^{-2}$. Подставим полученные значения в исходное выражение: $\frac{2^3 : 8}{24^0 \cdot a^{-2}} \cdot a^2 = \frac{1}{a^{-2}} \cdot a^2$. Используя свойство $\frac{1}{a^{-n}} = a^n$, получаем $a^2 \cdot a^2$. По свойству умножения степеней с одинаковым основанием $a^m \cdot a^n = a^{m+n}$, имеем $a^{2+2} = a^4$. Левая часть равна $a^4$, что совпадает с правой частью.

Ответ: тождество доказано.